保险业的模拟：风险模型问题

各公司根据其资本kj、tcan是否涵盖危险区域内新合同和现有合同的组合风险值（VaR）以及对应于乘法因子u的额外安全边际来决定是否承保合同。此外，他们还试图在所有危险地区维持风险价值大致相等的多元化投资组合。在这个模型中，投保人、股东、巨灾债券和愿意购买巨灾债券的机构投资者（如养老基金和共同基金）并不是复杂的代理人。股东收到股息支付。机构投资者以与时间相关的价格购买巨灾债券，该价格遵循溢价。它们不会以其他方式进行再投资，也不会对公司的政策产生任何影响。CAT债券只要具有流动性，就可以支付债权，并在破产或其他预定期限结束时解散（此时剩余资本将支付给所有者）。ABM的模块化设置允许我们在有无再保险和CAT债券的情况下进行复制。风险模型属性通过设置危险区域APRBPRCDSETTINGSETTINGSETTINGSETTINGSETTINGSTRISK模型1 U++100%50%33.3%25%2+U++0%50%33.3%25%3+U+0%0%33.3%25%4++U 0%0%25%表2：风险模型多样性（低估（U）和高估（+）危险区域）和风险模型多样性设置的风险模型使用（右）。风险模型VAR。每个保险和再保险公司只采用一种风险模型。它使用此风险模型来评估在任何给定时间是否可以承保更多风险。我们假设风险模型不完善，以便调查风险模型同质性和多样性的影响。有经验证据表明，风险模型是不准确的。

在一些危险地区，他们会低估风险，而在其他地区，他们会高估风险。在我们的模型中，风险模型在可控的情况下是不准确的：它们被校准为低估n个危险区域中正好一个的风险，并通过给定的因子ζ高估所有其他危险区域的风险（见表2）。由于n个危险区域在结构上是相同的，具有大约相同的风险数量，并且风险事件由相同的随机过程控制，因此允许多达n个质量相同的不同风险模型。风险模型使用VaR来量化每个危险区域中保险公司的风险。VaR是一种统计数据，用于衡量特定时间范围内保险或再保险公司的金融风险水平。它被用于一些监管框架，包括Solvency II，用于估计偿付能力资本要求。根据Solvency II，保险公司必须有99.5%的信心能够应对一年内最严重的预期损失。也就是说，他们应该能够在一年的灾难间隔期内生存下来，其复发频率等于或小于200年。在任何给定年份，灾难造成的净损失超过保险人资本的概率为α=重现期==0.005。对于代表所研究保险人风险组合损失的随机变量X，VaRwith超越概率α∈ [0，1]是α-分位数定义的asV aRα（X）=inf{X∈ R:P（X>X）≤ α}. （1） 这意味着，例如，根据Solvency II，保险人需要持有的资本可以用V aR0.005（X）计算。VaR的计算。企业的资本要求可以从企业风险模型中得出，作为整个投资组合VaR的安全系数：公司应持有资本金kj、tsuch thatkj、t≥ uV aR（X+X+X+。。。

+XN），其中XI代表公司的所有现金流来源（包括投资回报、信用风险、保险损失、保费收入、费用、运营失败等），以及u≥ 1是额外安全边际的一个因素。换言之，从t+1年开始，必须对公司的整个资产负债表进行建模，资本必须充足，公司至少有99.5%的时间拥有积极的资产负债表。由于灾难，偶尔会违反此条件，例如，如果公司遭受损失，导致kjis突然严重减少。在目前的模式中，在这种情况下，公司将停止承销，直到收回足够的资本。模拟中VaR的估计。计算公司投资组合的VaR需要计算损害分布和灾难频率随时间和所有危险区域的卷积，同时还需要考虑再保险合同。再保险合同从本质上消除了对损失分布的部分支持，使其成为非连续性的。估计现金流的非连续分布需要蒙特卡罗方法。

由于这对于每个承销决策都是必要的，这将增加ABMby数量级所需的计算时间。为了调查风险模型多样性的影响，重要的是风险模型应具有相同的质量，以避免基于质量差异的影响的干扰。对于再保险公司，再保险合同在合同限额和免赔额之间增加了其他公司风险分配的一部分，也使得由此产生的分配不连续。我们认为，为了研究风险模型同质性对系统性风险的影响，没有必要计算所有危险区域和全年的V aR组合。保险行业动态的良好近似值可以通过以下方式获得：（1）处理模型中单个灾难导致的风险值；（2）按风险区域分别考虑VaR，并将风险区域与最大函数相结合。（1） 在我们的模拟结果中，对单个灾难而不是12个月周期的关注改变了时间尺度，但得到的动力学类型和分布形状是相同的。显然，破产应该更频繁地出现在我们的方法中，因为我们持有的资本只是为了在200年一遇的个别灾难中幸存下来，而不是在12个月的时间间隔内再次发生灾难。然而，破产频率是唯一受影响的方面。（2） 此外，可以避免计算昂贵的跨危险区域分布卷积，因为可以使用单个危险区域中变量的最大函数获得良好的近似值。要了解这一点，请考虑两种极端情况。

一方面，如果所有危险区域之间的灾难分离时间完全相关，因此灾难总是一致的，那么我们将得到V弧=V aR+V aR+…+V警告。另一方面，如果灾难永远不会同时发生，我们将有V弧=max（V aR，V aR，…，V aRn）。第一种情况高估了VaR；第二种方法低估了这一点，因为它忽视了多个作物重合的可能性。换言之，有一个剩余VaR项V aRr来解释这一点：V aRc=max（V aR，V aR，…，V aRn）+V aRr。我们选择的参数是这样一种重合发生的概率，Pcoincidence=1-n(1 - Perpil）n-nPerpil（1- Perpil）n-1= 1 -n（e）-λ） n个-ne-λ（e-λ） n个-1，很小。也就是说，我们选择λ=100/3，n=4，因此p发生≈ 0.005. 因此，ourV arr很小，我们可以通过近似^ V aRc=max（V aR，V aR，…，V aRn）kj，t来安全运行模型≥ u^V aRc=umax（V aR，V aR，…，V aRn）。（2） 模拟中基于VaR的投资组合平衡。此外，特别是当接近极限kj，t时≈ uV aRi，企业将倾向于在不同的地区承保风险，这样投资组合将大致平衡，在每个风险地区保持相似的风险金额。更具体地说，只有当V aR的新标准偏差*在所有危险地区，有新合同的风险都低于没有新合同的风险。即std（V aR1*, V aR2*, ..., V aRn公司*) > 标准（V aR，V aR，…，V aRn），（3）其中V aRn*如果新合同被接受，每个危险区域的风险价值都会增加。如果标准差更高，企业只有在已经非常平衡的情况下才会愿意接受新合同。

换言之，使用新V aRn计算的标准偏差*与公司持有的现金总额相比，数额较小：std（V aR1*, V aR2*, ..., V aRn公司*) < ηkn，（4）我们旨在评估风险模型多样性的影响。如下所述，我们考虑的风险模型低估了一个风险区域的风险，而高估了其他风险区域的风险。只要真实VaR介于各种风险模型返回的低估值和高估值之间，该方法的模型设置是正确的。事实上，我们可以预期我们的估计值会更接近真实的VaR。将模型时间步长的解释从数月改为数年，将准确地纠正这一方面。我们选择不这样做，因为这会带来其他问题，如公司的反应时间，以及模型目前的详细程度的损失。式中η∈ [0，1]是一个参数，用于调节企业想要达到的平衡程度，n是危险区域的数量。保险费保险业竞争激烈。这正好证明了所有代理商都是价格接受者的假设。保险和再保险保费取决于保险部门可用的总资本KTt=Pftj=1kj。为简单起见，我们假设保险费围绕附录B.5中定义的公平保费波动。当行业总资本增加时，投保人支付的保费减少，反之，当总资本减少时，保费增加。为了避免不切实际的高波动性，我们设定了保费的硬上限和下限。这些阈值在modelas参数中实现，并且可以改变，尽管我们已经运行了大多数模拟，其中70%的公平保费作为下限，135%的公平保费作为上限。这些边界很少被触及。再保险价格的实施方式与附录B.5中的等式14相同。

下限和上限相同。唯一的区别是，再保险市场比保险市场对再保险资本市场的变化更为敏感（更多详情请参见附录B.5），再保险价格仅随再保险市场可用总资本的变化而变化，KTt=Pftj=1zj，tkj，t（其中z是长度的向量，如元素zj，对于再保险人为1，对于保险人为0）。在再保险案例中，通过使用等式14中更陡的斜率，可以捕捉到再保险市场对资本流动的更高敏感性。再保险市场中的资本通常比保险市场中可用的资本低一个数量级，这是一个可以在现实中找到的特征，经过仔细校准后，模型在资本的平均稳态值中再现了这一特征。为了简单起见，所有危险地区的保费都是一样的。这是一个基本案例，允许我们设计相同质量的风险模型。3.4合同保险和传统再保险合同保险人提供持续12个月的标准保险合同。在合同结束时，双方试图续签合同，这导致了较高的保留率。保险人可针对任何给定的风险区域获得超额损失再保险。标准再保险合同持续12次迭代（月）。保险人提出保险合同的免赔额；再保险人将评估是否承保合同。每个再保险合同都有一个免赔额（即保险人在合同生效前应支付的最大损害赔偿额）。

在我们的模型中，每个合同的免赔额是从保险人在合同开始时持有的每个危险区域总风险的【25%，30%】之间的统一分布中提取的。替代再保险：CAT债券该模型还包括一个简化的替代保险资本市场：保险公司和保险公司都可以按风险地区发行巨灾债券（CAT债券）。CAT债券是arisk关联证券，允许共同基金和养老基金等机构投资者为保险公司和再保险公司投保。它们的结构类似于一种典型的债券，投资者在合同开始时将本金转让给第三方，并以公平溢价的方式获得收益。在这种情况下，我们的意思是，平均而言，溢价会将损失和重击设定为零利润和零损失。ABM还允许仅使用比例再保险，尽管我们在本研究中未对此进行探讨。每年为其提供优惠券（比伦敦银行同业拆借利率高出一些积分）。如果在合同有效期内未发生灾难，本金将退还给投资者。如果发生巨灾，保险人和再保险人的损失将由本金承担，直至其耗尽。CAT债券具有吸引力，因为它们与金融市场上的其他证券不相关。由于机构投资者规避风险，只有损失概率较低的再保险计划的高层才由CAT债券覆盖。如果保险公司无法在五次或五次以上的迭代中获得再保险覆盖，则他们会发行aCAT债券。CAT债券的保费比传统再保险资本市场的再保险保费高出几个百分点。3.5模型设置和设计选择设置风险模型同质性和多样性可以通过比较不同企业使用的不同数量的风险模型来研究。

在单一风险模型的情况下，所有公司都使用相同（不完善）的风险模型。在两个风险模型的情况下，公司被划分为两个同等不完善的风险模型等。实验设计我们比较n个设置与不同数量的风险模型ν=1，2。。。，n、 高达ν=n的不同风险模型具有相同的准确性，并通过低估不同危险区域的风险来区分。因此，我们需要对n个不同的危险区域进行建模；我们在所有环境中都保留了这个危险区域的数量，包括具有ν<n不同风险模型的区域，以便进行更直接的比较。对于所考虑的n个设置中的每一个，模拟作为M个复制的集合运行。在每次复制中，我们使用相同的参数运行模型，只更改原始

考虑不同安全边际的影响以及是否存在再保险的影响。我们设计了模型，以便在瞬态消失后，行为是平稳的。这使得我们能够对数量进行长时间的平均，例如破产的频率。最初设定了公司数量和再保险公司数量等数量，但这些数量会随着其他参数的变化而变化。过了很长一段时间，最初的设置变得无关紧要。为了避免我们的结果与瞬态阶段的数据产生偏差，我们删除了模拟的前1200个周期（100年）。软件该模型是用Python编写的。源代码是公开的。它仍然不发达，例如，具有验证、校准和可视化扩展。看见https://github.com/INET-Complexity/isle4结果我们现在演示了该模型的应用。我们的目标是突出其能力，并展示可以从中获得的对巨灾保险系统行为的见解。第4.1小节讨论了模型在单个复制中的行为。以保险周期为例，将强调该模型能够再现真实的时间序列。第4.2小节将集成模拟与四种不同的风险模型多样性设置进行了比较。四种风险模型多样性设置对应于企业在各自模拟中使用的一、二、三和四种风险模型。这表明该模型可用于研究保险业模型同质性的系统性风险。