保险业的模拟：风险模型问题

我们展示了集成模拟中的时间发展模式（保费、收入、活动公司数量），提供了风险模型多样性设置之间存在系统差异的证据，并讨论了公司破产级联规模和未收回债权数量的分布。第4.3小节通过将基本情景中的模拟与再保险公司的正常补充（如前一小节所述）和无再保险部门的反事实再保险公司进行比较，研究再保险的影响。第4.4小节讨论了新兴的企业规模分布，这些分布很好地再现了非对称的企业规模分布，尽管模型中的企业规模最初相等。如果未另行说明，参数设置如附录A.4.1中的表4所示，再现保险周期。此处提供的保险模型能够再现第2.2节中讨论的保险周期最重要的样式化事实。在图4的面板a）中，显示了80多年来模型单次运行中保费的时间演变。为了简单起见，我们在没有再保险的情况下运行了此模拟。从软市场到硬市场的转变可能需要几年的时间。与实际保险周期一致，波动的频率和幅度都不规则。图4的面板b）显示了同一模拟运行中行业的盈亏时间序列。在大多数年份，该行业都在增长（盈利是积极的），但这一增长在发生灾难的年份和接下来的几年都会中断。

整个行业只有在几年的灾难中才会亏损。在图5中，我们展示了保险经纪人盖伊·卡彭特（Guy Carpenter）发布的真实保险周期与模型生成的模拟保险周期之间的比较。该模型生成的周期是一个25年的样本，在200多年的单次运行中。盖伊·卡彭特用来生成索引的算法并不公开，因为它是商业敏感信息。为了获得一个可比较的衡量标准，我们重新调整了ABM产生的溢价时间序列，以获得与真实指数中相同量级的单位。两个时间序列在周期和振幅上的变化范围大致相同。4.2模型同质性导致的系统性风险我们现在研究保险系统的特征，因为我们将保险和再保险公司可用的distinctrisk模型的数量从绝对同质性（一个风险模型）更改为四个风险模型，中间案例为两个和三个备选方案。图6显示了在相同的灾难时间表和所有四种风险模型多样性设置的

保费发展过程中出现的保险周期（a）具有现实的特点，不同于（尽管受到影响）盈亏发展过程（b）。图5：a）实际保险周期，以在线费率指数表示（与图1相同）。b） ABM产生的保险周期，重新缩放至与面板（a）中相同的量级，并且与之前的图相比，在较短的平局范围内。我们不得不重新调整比例，因为用于计算的算法不是公开的，但周期和振幅的变化范围是相似的。0 20 40 60 80年102%105%108%110%112%PremiumOne风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型图6：不同风险模型多样性设置下相同风险事件产生的保险周期比较。在一种风险模型的情况下，保险周期似乎更长。波动率/资本比率在所有情况下都是相似的。0 50 100 150 200 4000 6000非保险风险（保险）一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型0 50 100 150 200年50100150200非保险风险（保险）图7：非保险风险的数量随时间的变化。每个风险模型多样性设置400次重复的集成模拟。安全裕度为u=2。显示时间步长1200-4000（月）（删除瞬态时间设置1-1199）。集合平均值显示为实线。具有一个（红色）和两个（蓝色）风险模型的设置的四分位范围被描绘为阴影区域。（两个区域的重叠部分以洋红色着色。）0 50 100 150 200 405060708主动保险人一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型0 50 100 150 200年456789主动再保险人图8：运营保险公司数量。

参见图7.0 50 100 150 200 10000000000010000002000030000000004000000超额资本（保险公司）一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型50 100 150 200年1000002000000030000000004000000超额资本（再保险人）图9：超额资本金额（超出当前承保合同所需的资本）。这提供了写额外业务能力的度量。参见图7.0 50 100 150 2000.1800.1820.1840.1860.188保费（保险）一个风险模型两个风险模型三个风险模型我们的风险模型0 50 100 150 200年0.1900.1920.1940.196保费（再保险）图10：保险费。请参见图7的标题。波动率/资本比率在所有情况下都是相似的。在一种风险模型的情况下，保险周期似乎更长。如前所述，我们选择了这些模型，因此它们的平均精度是相同的，但它们在不同的情况下会出错。具体而言，每个模型都低估了不同危险区域的风险。因此，特定危险区域的灾难将对采用单一风险模型的公司造成打击，该模型严重低估了该危险区域。我们对四种可能数量的模型进行了400次模拟，并计算了每种情况下的平均值和行为分布。任何给定模拟的结果都非常不同，每次运行都有很大的变化。通过执行400次模拟，我们有效地减少了变化，以明确差异。

为了减少方差，我们为四个风险模型多样性设置中的每一个构建了M=400集合，以便它们具有相同的风险事件。本节图7至图10以不同颜色显示了与四种设置相对应的结果：红色表示所有公司使用相同风险模型的设置，蓝色表示两种不同风险模型的设置，绿色表示三种风险模型的设置，黄色表示四种风险模型的设置。如图7所示，使用一个风险模型的设置通常会导致在没有保险覆盖的情况下留下更多的风险。由于可投保风险的数量保持不变，如果签发的合同较少，则会有更多的风险无法投保，因为没有保险公司愿意投保。这主要是因为保险公司发现，只有一种风险模型就更难实现投资组合多样化，因此他们更不愿意发行更多的合同。当仅使用一种风险模型时，未覆盖的风险数量平均比使用四种风险模型时高出50%。也就是说，我们考虑了400种不同的随机过程实现，这些随机过程控制何时何地发生大小的灾难性风险，并针对每个风险模型设置运行这些实现。用相同的

由于系统的许多方面都受到重尾分布的影响，如果其他三个集合中没有其他风险模型多样性设置，个体实现可能会主导集合，并使比较产生偏差。由于风险模型的多样性较高，市场竞争更加激烈：图8显示，当使用更多模型时，保险公司的数量从平均52家增加到约68家，增长了30%。令人惊讶的是，再保险公司的数量几乎没有变化。如图9所示，这也导致保险和再保险公司的可用资本减少。这里的变化更为显著：对于保险公司来说，有四种风险模型时的可用资本比有一种风险模型时高出约1.5倍。对于再保险公司来说，可用资本高出1.75倍。这表明风险负担更高；公司能够通过更多的模式多样性来吸收更多的灾难性损失。最后，图10显示，对于保险公司来说，一种风险模型的风险保费低于四种风险模型的风险保费，尽管这里的差异很小（只有1%）。令人惊讶的是，再保险公司的这种影响发生了逆转，尽管这种差异再次非常小。在有四种风险模型的情况下，再保险公司的保费比只有一种风险模型的情况低约2.5%。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031051风险模型0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031052风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5101103105频率3风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5破产公司份额111031054风险模型图11：破产事件总规模的柱状图，以每次事件中失败的FIRMSB分数衡量。

400次重复的4000个时间步长的模拟集合，安全裕度u=2。y轴为对数刻度。破产是衡量系统性风险的关键指标。为了研究风险模型的数量如何影响这一点，我们编制了关于破产级联规模的统计数据，我们衡量破产企业的份额Bt=Bt/ft。这里，Bt是t时破产企业的数量，ft是t时破产企业的总数）。同样，我们也关注未收回索赔的数量。这是由于保险公司违约导致保单未支付的次数。我们根据未付索赔的数量来衡量这一点。这两个数字都包括保险公司和再保险公司。我们研究这些变量在所有复制中的分布，以及每个模拟设置中每个复制的整个历史。图11显示了破产规模的分布，而图12显示了未收回债权数量的分布。可用资本是指不涉及现有合同的资本，本质上是写额外业务的能力。为了说明间接影响，此处将破产级联定义为一系列违约公司，包括1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011031风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011032风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 6000001103105频率3风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000未恢复的损害1011031054风险模型图12：柱状图每个破产级联中未收回的索赔CTI的数量，其中CTI在每个时间步t上定义。见图11的标题。图11中所示的破产事件总数在四种风险模型多样性设置之间差别不大。然而，大型活动的数量非常不同。

对于一个风险模型案例（最上面的面板，红色），分布体持续延伸到超过三分之一的扇区（0.35），而在四个风险模型案例（最下面的面板），在所有400个复制的160000个时间步中，仅观察到超过0.27的一些分散异常值。如表3所示，约有4200家公司采用一种风险模型违约，而只有约1500家公司采用四种风险模型违约。未收回的索赔额也出现了类似的情况，尽管不太明显（图12）。这些柱状图在半对数尺度上的线性表明，指数为这些分布的主体提供了一个曲线。作为系统性风险的另一种衡量方法，我们对每个分布进行假设，以衡量这些半对数图中分布衰减的斜率Bλ。较低的值表示发生非常大事件的风险较高。如表3所示，我们发现，对于多样性更大的环境，破产级联规模分布的斜率b更陡，从一个风险模型的bλ=119变为四个风险模型的bλ=149。该结论是可靠的，并适用于表中报告的四个不同的模拟系列（每个系列都有四个风险模型多样性设置）：（1）标准案例，（2）无再保险但所有其他设置相同的比较案例（在第4.3节中讨论），（3）安全边际较低的比较案例（u=1），（4）安全边际较低且无再保险的情况（在C小节中讨论）。因此，与多样性较少的比较设置相比，更多的多样性导致特定尾部分位数中的事件更少。

表3下半部分报告的破产事件数量证实了这一点，破产事件影响了超过10%的保险和再保险公司。连续时间步，无中间时间步，其中无破产发生。图11和图12中半对数图中分布的近似线性形状表明，指数族或类似的长期分布。但是，必须截断指数形式，因为观察到的变量是必须介于0和1之间的共享。对于未赔付索赔额C的影响不太明确。例如，对于只有一种风险模型的设置，C较低，因为保险业务的规模较小，但预期缺口较大。在没有再保险的情况下，四种风险模型多样性设置之间的差异会变得更大。第4.3小节对此进行了更详细的讨论（比较图13）。参数设置安全边际u=2u=2u=1u=1风险是否图11 13 18 19破产级联规模的斜率Bλ（B）一个风险模型119 138 60 72两个风险模型145 151 65 83三个风险模型154 173 65 87四个风险模型149 181 67 91超过10%的公司违约事件数一个风险模型4212 4385 22486 21928两个风险模型3013 2453 16137 12699三个风险模型模型1981 1686 12419 7952四个风险模型1561 1229 10323 5441表3：破产级联（B）规模分布的向下斜率Bλ，从指数函数和右尾超过所有破产事件10%的事件数中获得。4.3再保险的影响在没有再保险公司的情况下，可以通过运行模拟来观察再保险的影响。结果如图13（破产级联规模直方图）、14（未收回债权金额直方图）以及15和16（时间序列）所示。

可以看出，在这种情况下，风险模型的多样性或同质性对破产级联的影响要大得多。例如，在没有再保险的情况下，四种风险模型设置的分布形状明显不同（图13），而对于多样性更大的设置，尾部会变得更短。由于只有一个风险模型，样本中有4385起事件影响了10%以上的保险公司。对于四个风险模型，这将减少到1229起事件，减少71%（见表3第二列）。在与再保险相同的情况下（图11），从4212起事件减少到1561起事件仅为62%。从半对数破产规模历史图（即指数分布参数，bλ）的拟合线斜率也可以看出差异：如果没有再保险，它从bλ=181变为bλ=149，变化率为21%，再保险从bλ=149变为bλ=119，变化率仅为16%（见表3第一列和第二列）。虽然再保险为系统性风险增加了第二个传染渠道，因为对手方暴露于再保险合同，但它部分缓解了风险模型同质性的系统性影响。因此，通过再保险，大型破产事件的数量（超过10%的公司受到影响）高达20%。这可以在表3的第一列和第二列中看到。它适用于至少有2个风险模型的所有设置。在风险模型同质性设置（只有一个风险模型）中，这是相反的，没有再保险的情况下，大型破产事件的数量大于有再保险的情况。