连续、可微、凹、拟凹的几何含义

10楼正解，思想深刻呀，确实这样不理解更多，若想证明每个点，难！

赞一个，不见得有什么误导的。

    连续与可微的区别：连续要求低，只要没有断点即可。可微性是光滑性，不能有尖点。把一根铁丝任意弯曲，只要铁丝不断，即为连续。但如果把铁丝弯成锋利的锐角形状，形成一个尖点，那么就不是可微的了。从曲面来看，可微性意味着曲面上没有挂手的尖点。一个美女的脸蛋上干净无疮，就是可微的、光滑的，但如果长一个疮，或者粉刺，形成挂手的尖点，那就不光滑、不可微了。

        楼主对于凹函数的描述是正确的，但是楼主对于拟凹的描述就显然错误了。
         错在何处？不妨用二元函数来说明。
         因为拟凹说的是用任何水平截面去截二维曲面，一个二元函数的图像，在水平截面以上的曲面留在水平截面上的区域是一个凸集。
        or the precise definition for quasiconcave is following:
      z=f(x, y) is called quasiconcave if the set ｛(x, y)|f(x, y)>t｝is a convex set for all t ∈R.
      也就是说，使得函数大于任何一个实数t的自变量区域是一个凸集。
       那么楼主的描述错在何处呢？
       下面比较两对图形即可说明。
       第一：把抛物线 y=x*x 即平方，在第一象限部分绕纵坐标轴旋转半周，我想这个曲面显然是无法蓄水的，按照楼主的描述，这个曲面是拟凹的。但是这显然是错误的。因为用水平面去截这个曲面，在水平截面之上的曲面在水平面截面上投影不是凸集。因此不符合拟凹的定义。事实上这个曲面是拟凸而不是拟凹，它不能蓄水。
       第二，把 y=x^2 在第一象限的部分绕垂直线 x=-2 旋转一周形成的旋转面，类似于一个没有底部的饭碗，显然不能蓄水。按楼主说法，这是拟凹面。事实上它是拟凸面。其任何一个子集都是拟凸的。

     效用函数不必是凹函数，只需要是拟凹，就可以保证消费者决策有唯一解。
        拟凹效用函数等价于，等效用曲线是下凸曲线，凸向原点。这也等价于说边际替代率递减。拟凹，无差异曲线下凸，边际替代率递减，这三个命题是等价命题。
         凹函数等价于边际效用递减。
        我们知道，边际效用递减可以推出边际替代率递减，但是反之不成立。这一关系也可以表述为，凹函数必为拟凹，但是拟凹不必为凹。
        消费者效用最大化决策不需要边际效用递减的假设，只需要拟凹即边际替代率递减的假设，而这一假设即多样化消费偏好。
        边际效用递减即享受有够假设。
        我想，中高级微观经济学中有关效用函数的几个概念之间的关系大致就是这样。

witswang 发表于 2011-8-16 19:38
楼主对于凹函数的描述是正确的，但是楼主对于拟凹的描述就显然错误了。
         错在何处？不妨用 ...

写的非常好。

witswang 发表于 2011-8-16 19:38
楼主对于凹函数的描述是正确的，但是楼主对于拟凹的描述就显然错误了。
         错在何处？不妨用 ...

能否举一个凹且不能蓄水，但非拟凹的例子？

iooo 发表于 2011-8-16 20:06
能否举一个凹且不能蓄水，但非拟凹的例子？

    　一个见曲面不能蓄水，拟凹，凹函数之间的关系是：凹函数一定是拟凹，但是拟凹不一定是凹；拟凹函数的曲面一定不能蓄水，但是不能蓄水的曲面不一定是拟凹。三者的外延是从大到小的关系。
　　因此，楼主的提问方式就存在问题了。楼主要求我举一个凹且不能蓄水，但非拟凹的例子，显然这是不可能的。因为凹函数一定是拟凹，而拟凹曲面一定不能蓄水，因此楼主的要求是矛盾的。
　　正确的反例应该这样举：
　　第一，举一个不能蓄水，但不是拟凹的函数，我上面24楼已经举了两个。
　　第二，举一个拟凹但不是凹的例子。这很好举，z=xy　这个经典的效用函数就是拟凹函数，但并非凹函数。
　　拟凹函数经过单调变换后仍然是拟凹函数，效用函数经单调变换后，仍然表示相同的偏好。这些内容在中高级微观经济学里面都说得很清楚。
　　可微拟凹函数的判别方法是加边海塞矩阵负定，而凹函数则是不加边海塞矩阵负定。
　　拟凹的整体性的几何意义不能用不能蓄水来说明。虽然我也赞赏楼主这样的描述是很直观和聪明的描述。不能蓄水只是拟凹的必要条件而非充分条件。要再找一个形象的拟凹的充分条件，加上不能蓄水的必要条件，就可以较好的直观地刻画拟凹了。等我想好了，再来补充。

witswang 发表于 2011-8-17 11:46
　一个见曲面不能蓄水，拟凹，凹函数之间的关系是：凹函数一定是拟凹，但是拟凹不一定是凹；拟凹函数 ...

是的，你说的很对，我这个问题是个错误的问题。

新人路过，写得很好啊，最近正学高级微观，对其中很多数学概念都很模糊，看来得补一下数学基础啦。