连续、可微、凹、拟凹的几何含义

witswang 发表于 2011-8-17 11:46
　一个见曲面不能蓄水，拟凹，凹函数之间的关系是：凹函数一定是拟凹，但是拟凹不一定是凹；拟凹函数 ...

请教为何Z=XY不是凹函数？我觉得是凹的呀。

martdamon 发表于 2011-8-17 13:05
请教为何Z=XY不是凹函数？我觉得是凹的呀。

蒋中一. 数理经济学的基本方法[M]. 刘学,译. 第3版. 北京：商务印书馆, 1999: 511-513.

WangLuoxuan 发表于 2011-8-17 13:21
蒋中一. 数理经济学的基本方法[M]. 刘学,译. 第3版. 北京：商务印书馆, 1999: 511-513.

谢谢。我的问题是，z=xy不但是拟凹的，还应该是凹函数啊。为什么它不是凹函数呀？

简单点可以这样看，凹函数的二阶无交叉导数小于零。
     它是凹的，但不是严格凹。我们前面说得没有那么严格哈。
     你也可以计算其海塞矩阵，可知其半负定而不是负定。因而是凹但非严格凹。但通常人们说凹函数时更倾向于指严格凹吧。

witswang 发表于 2011-8-16 19:38
楼主对于凹函数的描述是正确的，但是楼主对于拟凹的描述就显然错误了。
         错在何处？不妨用 ...

“第一：把抛物线 y=x*x 即平方，在第一象限部分绕纵坐标轴旋转半周”，这里是不是应该是绕横坐标（即x轴）旋转吧？

AdrianW 发表于 2011-8-29 23:12
“第一：把抛物线 y=x*x 即平方，在第一象限部分绕纵坐标轴旋转半周”，这里是不是应该是绕横坐标（即x轴 ...

     convexity and concavity depend on the direction which the surface is placed, if you rotate the part of y=x*x in the first quadrant around the horizontal axle, then you will yield a surface neither quasi concave nor quasi convex. Or, if you rotate the curve y=x*x in the first quadrant around the horizontal axle, then you can get a quasi concave surface toward the right, and a quasi convex toward the left.
    Do remember that the direction of the viewpoint is very import to judge the (quasi) concavity/convexity.

witswang 发表于 2011-8-30 09:43
convexity and concavity depend on the direction which the surface is placed, if you rotate  ...

本科生弱问，高等数学课上定义的凸是二阶无交叉导数小于零，而效用曲线凸向原点按照高数里说法应该是凹的，是不是曲线凹凸性和函数凹凸性相反，更一般的convex concave到底意味着什么。。能简单地解释一下吗。。看尼克尓森就发现这对两者之间理解很是不清楚。。谢了。。

witswang 发表于 2011-8-30 09:43
convexity and concavity depend on the direction which the surface is placed, if you rotate  ...

“if you rotate the part of y=x*x in the first quadrant around the horizontal axle”和“if you rotate the curve y=x*x in the first quadrant around the horizontal axle”有什么区别？

另外要旋转多少度？不明白方向在这里起到什么重要作用？

　　这个问题很多人都疑问过。原因很简单，数学家与经济学们在术语使用上不统一，在编教材时又没有在一起吃饭喝酒，因此对于凹凸定义的方向不同。数学书上凹凸通常是指向上，而经济学上则通常指向下，再上楼所谓的二阶无交叉导数小于零不就是类似于抛物线开口向下吗，这在数学上叫凸函数，精确地说，应该叫做上凸函数，它等于是下凹函数。也就是说，上凸＝下凹，上凹＝下凸。为了避免方向的习惯称呼不同，我建议大家在说凹凸性的时候，一定把方向指明。
　　抛物线开口向上：下凸＝上凹。
　　抛物线开口向下：上凸＝下凹。
　　

witswang 发表于 2011-8-31 20:26
　　这个问题很多人都疑问过。原因很简单，数学家与经济学们在术语使用上不统一，在编教材时又没有在一起吃 ...

说的很有道理，先前一直疑惑效用函数的凹凸性终于得到了正确的解答，谢谢了