主成分分析对应指标的系数公式

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在主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）中，对应指标的系数称为主成分载荷（Principal Component Loadings）。主成分载荷表示原始变量与每个主成分之间的线性关系强度。

假设我们有一个包含 p 个变量的数据集，进行 PCA 后得到 k 个主成分。那么对于第 j 个主成分和第 i 个变量，它们之间的载荷可以通过以下公式计算：

载荷（Loading） = 第 j 个主成分的标准化得分 × 第 i 个变量的标准差 / 根号下该主成分的特征值

其中，第 j 个主成分的标准化得分是将原始数据在该主成分上的投影，第 i 个变量的标准差是该变量在数据集中的标准差，该主成分的特征值表示该主成分所解释的方差。

具体而言，假设我们有一个数据矩阵 X，其中每一列代表一个变量，行代表一个观测样本。经过 PCA 计算后，得到了 k 个主成分，其中第 j 个主成分的标准化得分存储在向量 Z_j 中，第 i 个变量的标准差为 sigma_i，第 j 个主成分的特征值为 lambda_j。那么第 j 个主成分和第 i 个变量之间的载荷可表示为：

Loading_ij = Z_j * sigma_i / sqrt(lambda_j)

这样，对于每个主成分和对应的变量，都可以计算得到其对应的载荷值。

需要注意的是，PCA 的结果会对变量进行标准化处理，使得每个变量具有零均值和单位方差。这样做是为了消除不同变量之间的尺度差异，确保主成分载荷的比较公平和可解释性。载荷值的绝对大小表示了变量与主成分之间的相关强度，正负号表示了它们之间的正负关系。

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关键词：主成分分析 主成分 PRINCIPAL Component Analysis