知识科普——复利、单利及全额计息

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                知识科普——复利、单利及全额计息

                         于德浩     2023.8.1

复利是真实的利息率，一般都称为“折合年化利率为……”。这对应数学上的复利公式，F=S*(1+r)^n；或者现金流折现公式，A=M1/(1+r)+M2/(1+r)^2+M3/(1+r)^3+… 。这里的r，就是指复利，比较精确但有些复杂。

单利是一种笼统的、简化的利息估算。比方说，贷款100万，先息后本，三年还清，利息率6%。也就是，第一年还款利息6万，第二年还利息6万，第三年还本金和利息共106万，结清。这里的单利6%与实际的利息率（复利）是一样的，都是年化6%。现金流折现方程就是，100=6/(1+r)+6/(1+r)^2+106/(1+r)^3。 这里可解得r=0.06。这个一元三次方程不好解，我们可以根据数学物理方法去试探解。把r=6%代入，方程右边，从后往前依次通分，即可验证。

全额计息，也是一种单利的叫法，但实际与复利很不一样。比方说，小额贷款10万元，月息1分（1%），一年本息是11.2万元，那么每月还款11.2/12=0.9333万元。这里的“单利月息1%”实际相当于约年化24%。我们可以计算一下，10=0.9333/(1+r)+0.9333/(1+r)^2+0.9333/(1+r)^3+… 。 我们试探解r≈0.018， 即年化0.018*12=21.6%。

实际案例，信用卡分期付款，优惠息费率0.5%/月，“单利6%/年”，实际相当于约年化11%。 这比贷款的基准利率6%/年要高很多，但比信用卡的透支利息率日息万分之五要低，所以叫做优惠。日息万五，就是0.05%*30*12=18%/年。

民间借贷，还有更贵的、简单粗暴的计息方式。比如，100万元，利息20%/年，三年总利息是60万元。那先把利息扣下，给40万元，三年后还100万元。这实际折算约年化40%。40*(1+r)^3=100，解得 r≈36%/年。

人们说单利，是比较简单易懂的。比方说，100万元投资一个股权融资项目。第一年收到5万元分红，第二年收到5万元，第三年（股权转让）300万元结清。简单的“单利”计算就是，投入100万元，最后总得310万元；即三年总利润就是210万元，那么每年利润率就是210%/3=70%/年。我们精确计算一下实际收益率（复利）。100=5/(1+r)+5/(1+r)^2+300/(1+r)^3 ； 解得 r≈0.45。

我们说，投资收益率十年十倍，这是很惊人的；若“单利”计算，就是平均每年90%。可实际的复利收益率，折合年化26%。因为，1.26^10=10。股神巴菲特说，“要慢慢变富”。你不必追求每年翻倍的高额收益率，只要你能每年26%的收益率，坚持长期持有优质股，就能有十年十倍。

简单的“单利计算”可以估算复利。 比方说，等额本息还款100万元，贷款利息率是5%/年，20年还清，求月供是多少？  单利计算，20年总计本息是100+20*100*5%=200万元，那么月供就是200万元/240月=8333元/月。 如果是0利息，那么月供就是100万元/240月=4167元/月。 即实际月供4167<M<8333，我们取中间值，M≈6250元/月。实际的等额本息房贷计算器的结果是M=6599.56元。

数学物理方法去解方程。 比如，100=20/（1+x）+10/(1+x)^2+12/(1+x)^3+58/(1+x)^4。这里就可以转化为一个物理问题，借款100，依次还20+10+12+58，四年还清。这里的利息率就是r=0%/年，即x=0是这个方程的一个解。

倘若是，100=20/（1+x）+10/(1+x)^2+12/(1+x)^3+58/(1+x)^4+200/(1+x)^5。 这个五次方程是很难解的，我们可以估算一个试探解。相当于5年的累积收益是200，那么单利计算的年均收益率就是200/5/100=40%。实际收益率（复利）大约是一半，r≈20%，先试探一下，左边=100，右边是138。那么，r应该再调大些。再试探r=25%，右边=117。再调大r=30%，右边=100.9≈左边=100。所以，解得，x≈0.30。

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关键词：现金流折现 信用卡分期 股神巴菲特 10万元 长期持有