微观部分:一、
间接效用函数v是这样一种映射关系:v:(p,y)→max u,u∈R。即给定一组参数向量价格和收入,就有一个最大的效用水平数值与之对应。
max:u=a^(1/3)b^(2/3)
s.t. :p1*a+p2*b<=y
拉格朗日辅助函数:
L=u+t(y-p1*a-p2*b)
一阶条件:
dL/da=0.......(1)
dL/db=0.......(2)
dL/dt=0........(3)
由(1)(2)消去拉格朗日乘子,得到2p1*a=p2*b,带入(3)式,求得最优消费量:
a=y/3p1........(4)
b=2y/3p2......(5)
(4)(5)带入直接效用函数u,得到间接效用函数v:
v(p,y)=(y/3)(1/p1)^(1/3)(2/p2)^(2/3)
二、
基本的方法还是通过拉格朗日方法求得最优消费水平,进而计算MRS。但是这里提供一个比较简便的方法。
形如:u=a^αb^β的CD效用函数形式,消费者均衡时,在商品a上的总支出站全部预算支出的α/(α+β),商品b的花费占全部预算支出的β/(α+β)。那么本题中:ab的花费分别是:
y(a)=10α/(α+β)
y(b)=10β/(α+β)
通过预算约束中的价格Pa=1,Pb=3,求得ab的最优消费量:
a=10α/(α+β)
b=10β/3(α+β)
MRS:
U(a,b)=C
全微分:MUada+MUbdb=0,MRS=MUa/MUb=αb/βa=1/3.
事实上,当消费者均衡时,无差异曲线和预算线是相切的(不考虑角解),无差异的曲线的斜率是
db/da=-MUb/MUa
预算线的斜率是-Pa/Pb=-1/3
所以均衡点时无差异曲线的斜率是-1/3,相应地:MUb/MUa=1/3.