关于CRR binomial tree的计算

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说实话这道题什么意思我没有理解
Calculate the price C(0) at time t=0 of a derivative C that pays off the stock price S(T) at maturity T in an n-step Cox-Ross-Rubinstein binomial tree,n>=1.(You can think of this as a European call option with strike K=0.)How would you hedge this option if you had sold it to somebody else?

第一问是不是直接S（T）＝exp（nrt）C（0）？感觉对结果不太踏实

第二问：
首先不知道我对CRR binomial tree的理解对不对，它是对log-normal distribution的逼近;E（S（n＋1）／S（n））＝exp(rt),说明S的变化不取决于u，d，只取决于r，如果r固定，S（t）就是一系列固定的值；p和q即取决于u和d，又取决于exp（rt），假定r不变，p，q，u，d知道一个就能求出其他三个；而知道σ就可以求出u和d，也就是说已知σ和r的话，就可以建立CRR binomial tree。
但是我想不明白它是不是一个鞅，我感觉p，q取决于u，d和exp（rt）是为了保持E（Bt－Bs）＝0，但是没有验证。
我比较纠结E（S（n＋1）／S（n））＝exp(rt)的意义，S（n）代表什么？n时刻的S的期望值？如果是这样的话那S0＝exp（－nrt）S（T），持有数目不变的话，那不就不是一个鞅了吗？

所以我不理解第二问的意思：
如果是鞅，最后时刻的期望值不变，那卖不卖有什么区别？
或者说是要在T时间内，通过买入一定数量的这只股票，来逼近持有股票的情况的价值？这里我确定不了常量和变量。
还是说我持有卖掉这只股票的现金，对方持股，然后我不断买入，我手上的现金加股票价值一直等于对方的现金加股票价值？


理不清思路，希望高手指教。

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关键词：Binomial nomial Tree bin CRR 计算 策略 somebody option price

说实话这道题什么意思我没有理解
Calculate the price C(0) at time t=0 of a derivative C that pays off the stock price S(T) at maturity T in an n-step Cox-Ross-Rubinstein binomial tree,n>=1.(You can think of this as a European call option with strike K=0.)How would you hedge this option if you had sold it to somebody else?

第一问是不是直接S（T）＝exp（nrt）C（0）？感觉对结果不太踏实
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
hedging is simple. just buy a share today.

第二问：
首先不知道我对CRR binomial tree的理解对不对，它是对log-normal distribution的逼近;E（S（n＋1）／S（n））＝exp(rt),说明S的变化不取决于u，d，只取决于r，如果r固定，S（t）就是一系列固定的值；p和q即取决于u和d，又取决于exp（rt），假定r不变，p，q，u，d知道一个就能求出其他三个；而知道σ就可以求出u和d，也就是说已知σ和r的话，就可以建立CRR binomial tree。
但是我想不明白它是不是一个鞅，我感觉p，q取决于u，d和exp（rt）是为了保持E（Bt－Bs）＝0，但是没有验证。
我比较纠结E（S（n＋1）／S（n））＝exp(rt)的意义，S（n）代表什么？n时刻的S的期望值？如果是这样的话那S0＝exp（－nrt）S（T），持有数目不变的话，那不就不是一个鞅了吗？

所以我不理解第二问的意思：
如果是鞅，最后时刻的期望值不变，那卖不卖有什么区别？
或者说是要在T时间内，通过买入一定数量的这只股票，来逼近持有股票的情况的价值？这里我确定不了常量和变量。
还是说我持有卖掉这只股票的现金，对方持股，然后我不断买入，我手上的现金加股票价值一直等于对方的现金加股票价值？


理不清思路，希望高手指教。

Enthuse 发表于 2012-4-2 07:13
说实话这道题什么意思我没有理解
Calculate the price C(0) at time t=0 of a derivative C that pays off ...

谢谢！能不能给我一个等式？

第一问同意楼上，就是去buy一个股票就行了。也就是说这个option的价值C(t)=S(t)

后面我也不知道是不是理解了你的意思，有点乱。
1. S(t)当然取决于u和d。E（S（n＋1）／S（n））＝exp(rt)，这个式子的E（）是在风险中性概率下取的，而你做BT的时候，S(n)要在真实概率下算。
2. r固定，在风险中性概率下，只能说E(s(t))以r增长。当然在BT模型里面简化了，因为只有两个状态，你可以认为在每个节点S(t)都是能算出来给定的。
3. p和q是风险中性概率，要用u(σ)，d(σ),r来算, 你不可能事先知道p和q。
4. 对的，已知σ和r，就能建立BT模型。
5. 我没看懂，你说的哪个是鞅。在风险中性概率下，股价本身不是鞅，股价的预期收益率更不是鞅。只有在风险中性概率下，S(t)/exp(rt)才是一个鞅。
6. S(n）就是n步的时候的股价的所有可能性。S0＝exp（－nrt）S（T），这个式子要改成这样，第一：取期望S0＝exp（－nrT）E(S（T）），第二，这个期望是在风险中性概率下的期望。
7. 你只能说BT中，股价具有马尔科夫性，但不能说它是一个鞅。
8. 最后一问，所谓buy一只股票对冲，金融经济学告诉我们payoff一样的两样东西，现在价格肯定一样，否则就有套利。你持有一只股票，在任何情况下都能完美复制这个option的值，那么这个option的价格和你手里股票的价格肯定是一样的。怎么对冲：你就在short了一个option的同时，买了一只股票，然后拿在手里，就可以了，到期他肯定会问你行权，你就把手里的股票给他就行了。在BT树里，每个节点上股价都等于期权价格，并且delta值始终是1.

你的问题好零碎好乱，我也不知道是不是答在了点子上，也不能回答很全面，可能都是废话，你可以忽略。

Chemist_MZ 发表于 2012-4-2 08:39
第一问同意楼上，就是去buy一个股票就行了。也就是说这个option的价值C(t)=S(t)

后面我也不知道是不是理 ...

半夜爬起来看回复。
1.我还没学到风险中性的概念，不过看你的表达我懂了。非常清楚！
2.解释的非常清楚。
3.p,q的公式我见过，当时一连看下去只注意谁可变谁决定谁，没有联系实际，你解释完我理解了
5.你的解释我懂了。我刚开始的矛盾就是看到p和q的定法，觉得是为了保证过程是一个鞅来服务的，但是最终期望值又与起始值不同，看了你的解释我明白了，p和q的定法是为了保证S(t)/exp(rt)是一个鞅。我一开始没有想到这种可能性。
6.题目是风险中性，I suppose,因为给了p＝(e(rt)-d)/(u-d),印象中是这个式子，这就代表风险中性吧。
7.你说的是泛指的BT？那比如u=2,d=1/2,p=1/3,q=2/3可不可以说是一个鞅呢？我突然反应过来对满足指数正态分布的过程的逼近确实不应该是鞅
8.原来这个问题不是数学问题....我先前理解错了，没有注意option。
你说的意思我不太理解，就是说这一股卖掉了，在用卖掉的前买一股一样的收益就和没卖之前一样了，是这样吗？
不好意思金融概念不太熟，能不能帮我演绎一下，就是说定价K在T时刻出售，如果T时股价低于K，买家可以不买，但在t=0时还没拿到现金；再花S（0）买一股，可是到时候如果S（T）<k，是不是就赔了双倍？如果S（T）>K,就赚了K-S(0)＋S（T)-S(0)。结果显然不对。
是不是出售期权的价格不是K，而是S（0）？
9.这道题第一问怎么解啊？Calculate the price C(0) at time t=0 of a derivative C that pays off the stock price S(T) at maturity T in an n-step Cox-Ross-Rubinstein binomial tree,n>=1.

谢谢你的答复，前7问都解释的非常清楚，第8问实在是期权的概念不太熟，不好意思

哦，那我就举个例子把。
好比来说今天中石油的股票是10块钱。你卖给我一个中石油的存续期为3个月的zero strike的期权。到期payoff是中石油3个月以后的价格也即max（ST-0，0）=ST。那么三个月以后，我肯定会问你行权，因为三个月后中石油的股价肯定比0高。但是，如果那时候中石油的股票涨得很高了，你再去买股票去应付我的行权，那么你肯定亏损很多。那你的策略就是去对冲。怎么样才能完美对冲你的风险呢？你发现不管中石油的股票三个月后跌到什么程度或者涨到什么程度，你现在买一股S(0)，到期不管怎么样一定是ST。这样，我来问你行权的时候，你都能拿出股票给我，不管那时候的股价。

所谓对冲，就是你用别的金融资产去复制你想要去对冲的那个资产，然后做反向操作，就可以抵消掉风险。你这里的风险就是股价涨得很高，你如果到时候去买的话，肯定会亏得很惨，为了避免这个风险，你的策略就是现在就买一个股票拿在手里，应变各种情况。直观上说，因为无论如何期权持有人都会来行权，所以你的对冲比例都是1，也就是你手里一定要攥个股票，以防股价暴涨。

至于option的价格为什么就是S(t)，那就是无套利保证的：
如果你卖给我的价格高于S(t)，即C(t)>S(t)，那么你就可以这么套利：
t时刻，卖出一个期权得到C(t)，买入一个股票花费S(t)，你净赚C(t)-S(t)>0
T时刻，我问你行权，你把手里那个股票给我，头寸抵消掉，你就没事了。
你发现没有，这样你稳赚 C(t)-S(t)>0，没有任何风险。
反过来同样能套利，所以必须相等。

希望有助于你理解 ~bless

Chemist_MZ 发表于 2012-4-2 10:17
哦，那我就举个例子把。
好比来说今天中石油的股票是10块钱。你卖给我一个中石油的存续期为3个月的zero st ...

我好像懂了。
无套利option指的是以交易时价格t＝0出售，那是不是当时就拿到现金？
也就是说我手持股价S（0），我卖掉期权再用卖掉的钱买一个S(0),到行权日如果S（T）<S(0),期权赚的S（0）－S（T）弥补了股票亏的S（T）-S(0)，这样算是避险吧，还是我理解错了，可以套利？如果S（T）>S(0),我该赚多少还赚多少，是这个意思吧？
太谢谢了！搞懂了几个重要问题

恩，你说的没错，在这例子当中是这样的。因为一开始你建立的对冲组合即：卖空一个期权+买入一个股票，净花费是0，那么到期你肯定不能有多余的钱；如果你一开始没花钱，到期有了一笔多余的钱，那么这样就是有套利的。反之，如果到期你没有多余的钱，但是期初你不仅没有花钱，还得到一笔多余的钱，那么这样也是有套利的。对冲都是反向操作的，肯定有一个或者多个账户的亏损，让另一些账户的收益抵消了。

恩，期权严格来说不能说是卖空，应该说是写，就是write。你写出一张期权，卖掉，就马上得到了现金，就是我们所说的期权费。那笔钱是你的收益，但是你写出期权的同时，你肯定不能裸写，因为到期如果是call的话，股价涨得很高，别人来问你行权，你就死了，因为你要花大笔的钱从市场上买进股票应付别人的行权。那么为了解决这个问题，你就必须像上面那样对冲。

其实这个期权的payoff太容易复制了，所以价格肯定特别准，但是对于一些复杂的期权，价格很难算，那么你写的时候就可以比理论价格高一些，比如在这个例子里，假设有个白痴，不懂这个期权应该卖S(0)，你忽悠他，以S(0)+e，e>0卖给他，然后再去对冲，然后你稳赚了e。现实当中有些银行卖理财产品的时候可能就会以比无套利算出来的价格高一些的价位，把一个较为复杂的理财产品卖给投资者，然后自己反手对冲风险，赚取一定的差价。这也是一种赚钱方法。

希望有帮助~

Chemist_MZ 发表于 2012-4-2 18:19
恩，你说的没错，在这例子当中是这样的。因为一开始你建立的对冲组合即：卖空一个期权+买入一个股票，净花费 ...

非常感谢。我本来期待理解1，现在我理解了3。我是否可以再在深入一点
C（0）＝S（0）可不可以理解成最简单的无套利的避险对冲，那么如果套利的话出了您刚才说的赚定差还有其他方法吗？
那么在比较复杂的形式当中，可以增加哪些变量呢？比如说增加策略delta，卖出f等等。
所谓的“复杂”是不是只具体的不同金融产品组成的投资组合，而最终简化成BT上面的S（t）*delta，可能变量符号用的有点问题，我的意思由这个“简单”模型“变“复杂”，其实就是把X（t）变成不同的金融产品的组合，逆向就是把各种组合通过简化和等价到BT上

你的问题比较琐碎，我也不知道怎么全面回答。我就讲这些，有时候需要借助具体问题可能回答效果更好。