何谓公理？公理与定理有何区别？

数学同逻辑学一样，不需要证伪。

证伪仅仅针对归纳判断，而不针对演绎判断。数学是演绎真理，用逻辑加以检验，而不是用实验加以检验。

包不同 发表于 2012-7-4 11:31
我推荐你的数普(数学普及)文章看了吗?

谢谢你的推荐，浏览了一下，有点拉杂。

貌似不是普及数学，而是将一点关于数学哲学的看法。

数学就是一系列的假设下的量化规律。貌似作者仅对“测度”一词就搞了大量的假设。

而假设本身就是证伪范围之内的事情。

冒充懂经济学 发表于 2012-7-4 11:47
数学同逻辑学一样，不需要证伪。

证伪仅仅针对归纳判断，而不针对演绎判断。数学是演绎真理，用逻辑加以 ...

数学需要假设，尤其是抽象性的假设，属于证伪的范畴。而数学证明则是在假设范围内找反例，一旦假设不够严密，就会因找到反例而被推翻。

大师们说数学不属于证伪的范畴，估计是因为数学通过假设而将穷举实例的难题给屏蔽了。

bangfu999 发表于 2012-7-4 11:54
数学需要假设，尤其是抽象性的假设，属于证伪的范畴。而数学证明则是在假设范围内找反例，一旦假设不够严 ...

数学的假设在逻辑范围内去检验其对错，不是在现实中。数学的对象是思维的产物，是先验的产物。数学假设的检验，不是在现实中设计实验，而是在思维中检验其逻辑性是否完备。

而科学判断，都是针对客观世界的，而且包含归纳真理，所以才谈得上实验的证伪。这不是大师不大师的问题。

bangfu999 发表于 2012-7-4 11:50
谢谢你的推荐，浏览了一下，有点拉杂。

貌似不是普及数学，而是将一点关于数学哲学的看法。

那篇文章就是数学家写给不懂数学的人的一篇数普文章,
当然在回答"数学究竟是什么"这样终极问题的时候,是需要钻些牛角尖的,

里面已经讲得很清楚了,数学就是一些规定,以及在这些规定基础上的演绎.
你没有必要再解释一遍.

包不同 发表于 2012-7-4 12:15
那篇文章就是数学家写给不懂数学的人的一篇数普文章,
里面已经讲得很清楚了,数学就是一些规定,以及在这些 ...

是一些列的假设，而不是规定。

bangfu999 发表于 2012-7-4 12:16
是一些列的假设，而不是规定。

你又把数学家的话篡改掉了.

冒充懂经济学 发表于 2012-7-4 12:12
数学的假设在逻辑范围内去检验其对错，不是在现实中。数学的对象是思维的产物，是先验的产物。数学假设的 ...

数学来源于现实的抽象，是思维和现实世界的混合产物。比如儿童很早就有思维，但很晚才识数。而且在科学研究中，其他学科，至少物理学曾经推动了数学的发展。

在充分的假设范围内，数学的数理规定性的确不存在证伪的问题。因为这些严谨的假设把证伪的问题都给屏蔽了。

但那些假设不够严谨的领域，或者未知的数学领域，或者交叉数学领域，仍然存在证伪的问题。

比如，我在2009年听过一个学术报告，讲一个世界上刚破解的热门数学命题，大意是这样的：如果线段无限缩短，最终会呈圆球状（抱歉，我不是数学专业的，只能记住这些）。

再举一个数学热门命题：在一张纸上随意画一个圈，然后将这张纸随便揉搓一个纸团，然后扔进一个杯子里，则这个纸团在被子里的任意一个落脚点都会有这个圈里的元素的投影（同样抱歉，我大概只能记得这么多，如果说错了，请原谅我的不专业）。

请你辨别一下，上述两个问题，到底是纯粹是数学问题，还是物理问题？是否存在证伪的问题？

bangfu999 发表于 2012-7-4 12:36
数学来源于现实的抽象，是思维和现实世界的混合产物。比如儿童很早就有思维，但很晚才识数。而且在科学研 ...

你举的那个线段无限缩短的例子，要么归入物理学范畴，要么归入逻辑学范畴。与实际的检验无关。

数学是否来源于对现实的抽象，这不是哲学问题，我们不去探讨。
问题的关键是，数学从来不是在实验中去检验去正确与否的，而是在思维和逻辑中去检验的。

你提到平行线的问题，难道这需要做可证伪实验吗？
按平行线的定义，它就是平面上两条不想交直线，你还检验个啥子。

冒充懂经济学 发表于 2012-7-4 12:49
你举的那个线段无限缩短的例子，要么归入物理学范畴，要么归入逻辑学范畴。与实际的检验无关。

数学是 ...

呵呵，你说的貌似不全是那么回事。

第一个问题，是2009年的数学大事件，中国的某个学者破解了这个难题，并获得了美国的数学大奖。具体的我已经记不清了，过两天我再问问学数学的朋友。

再者，你所说的数学，和我理解的数学有差异。你说的是人类数千年文明积淀下来的、约束条件极其清晰而且严谨的数理逻辑问题，而我说的是数学发展过程中，数学最前沿的问题肯定是现实问题，如物理、化学、经济问题等。

比如早期的数学——极限问题，中国古书有记载，一个木块，日取其半，如何如何，这个问题在当时就是一个前沿问题，既是一个数学问题，又是一个物理问题。有当时的人们对于极限的假设条件尚未明确，所以这个命题是个伪命题：当木块无限小，小到原子、质子、夸克、中微子，你再切，有这样的刀吗？最小的粒子中有“上帝的禁忌”，是否会引发核反应或时空变异？然后你怎么再切下去？

后来的极限问题，就是对类似上述命题的抽象，如函数极限：“设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限”。