何谓公理？公理与定理有何区别？

在传统逻辑中，公理是无法被证明或决定对错，但被设为不证自明的一个命题。因此，其真实被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单，且符合直觉，如“若a = b，则a+c = b+c”。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在两者之下，公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，公理（除非过多）是不能由演绎原则来推导，也不能经由数学证明来决定对错，只因为它们是起点；公理无法由任何其他地方推导而来（不然它们就会被归为定理）。

逻辑公理通常是被视为普通真实的陈述（如 (A ∧ B) → A），而非逻辑公理（如a + b = b + a）则实际上是在一特定数学理论（如算术）中的规范性质。在后者的意思之下，公理又可被称为“公设”。一般而言，非逻辑公理并不是一个不证自明的事实，而应该说是一个被用来推导以建构一个数学定律的形式逻辑表示式。

bangfu999 发表于 2012-7-4 12:52
呵呵，你说的貌似不全是那么回事。

第一个问题，是2009年的数学大事件，中国的某个学者破解了这个难 ...

不是数学的前沿问题是物理化学，而是前沿的物理化学都用数学描述。

极限问题在数学上的解读，从来都是从逻辑的角度而不是物理的角度。即使当代也是如此。

你举的函数极限问题，哪里与实验相关？哪里与现代物理相关？科学反过来影响数学，不意味着数学不可以在思维中获得。1000年前也可以在思维和逻辑中，去找到你那个函数极限的叙述。

冒充懂经济学 发表于 2012-7-4 14:03
不是数学的前沿问题是物理化学，而是前沿的物理化学都用数学描述。

极限问题在数学上的解读，从来都是 ...

数学前沿的问题，基本上都是人类在物质世界遇到的物理、化学、生物、空间等问题。在上述“一个木块，日取其半”，而不是“一个数字，日取其半”，说明数学并非凭空想象而来。

而“木块日取其半”，必然遭遇一个物理问题：当木块无限小，如何得到切割木块的刀？在古代科技落后的条件下，如果古人深究这一命题，肯定会发现其中的问题。

在现代发达的科技条件下，切割无限小的粒子也会出现若干难题：如何切割夸克？是否存在比夸克小的粒子？切割最小的粒子是否会引发核反应或者时空变异？这之后如何继续切割？或许你认为这种分析有些荒诞，但寻找最小的粒子的确是物理学光荣而艰巨的任务。

也就是说，“一个木块，日取其半”，人类一直在对这个命题进行着检验，锲而不舍，从未停止。而且，可以预见，人类类似的冒险和努力，可能会引发数学上的新突破，从而促进数学的大发展。

据此，我得到如此大胆的数学猜想：粒子X的质量如果无限接近于0，则会产生磁效应和时空扭曲，体积迅速膨胀，膨胀的速度为光速的1.01倍，同时释放出巨大的能量。在这个释放的能量体中，会产生虫洞效应，时间在这个虫洞中停滞，一些反物质粒子在这个虫洞中以0时间成功穿越。

哈哈，如此，现有的极限定义必将遭到改写。

看看欧式几何和非欧几何不就都明了了
数学早就摆脱了那些现实的束缚了，倒是很多学科都试图在数学中寻找表达方式
比如比较负责任的物理，和比较不负责任......

bangfu999 发表于 2012-7-4 16:00
数学前沿的问题，基本上都是人类在物质世界遇到的物理、化学、生物、空间等问题。在上述“一个木块，日 ...

数学是否是凭空想象，那是个哲学问题。而可证伪性是在现实中的实验去检验。
我们知道数学不需要现实的实验检验，所以不需要证伪。这就行了。

数学公理即使来源于现实世界，也不需要实验检验。

数学就是一套可以自治的逻辑
这个自治还是有限度的

哲学早戒了。
无论怎样弄，最终都会推导出有个活生生的上帝存在，问题只是在于我们的地球只是上帝鞋子上的一粒微尘还是上帝的大本营，前者叫唯物主义，怎么折腾上帝也不会有感觉；后者叫唯心主义，小心翼翼的走路，小心翼翼的思考，生怕上帝怪罪。我倾向于前者。

对这两个定义我也很疑惑，但大家众说纷纭，不知道该怎么判断好了囧。。

你是以点带面了

公理是不证自明的真理，
而定理必须经逻辑证明为真。