Ruey S. Tsay《时间序列分析》Python实现笔记：非线性时间序列模型

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第七章 非线性模型核心内容及量化应用

一、核心问题：为何需要非线性模型？

1.1 线性模型的固有局限

尽管ARMA模型与GARCH家族在金融时间序列分析中被广泛使用，但它们均属于线性模型范畴。这类模型依赖于变量间存在恒定且可加的线性关系这一基本假设，即认为市场波动和收益变化遵循固定的线性规律。然而，现实中的金融市场表现出大量复杂的非线性行为，使得线性模型难以准确描述，主要体现在以下四个方面：

不对称性： 市场对利好与利空消息的反应程度并不对等，通常表现为“下跌速度快于上涨速度”。例如，在数字货币市场中，突发负面消息可能导致单日跌幅超过20%，而同等强度的正面消息却往往无法带来同等幅度的上涨。这种非对称响应超出了线性模型的建模能力。

机制切换： 金融市场并非持续运行于单一状态，而是会在“平静”、“恐慌”、“狂热”等不同模式之间转换。每种状态下资产的价格波动特征和收益规律均有显著差异。线性模型由于参数固定，无法捕捉这种结构性的状态变迁。

阈值效应： 当价格突破某些关键水平（如前期高点、低点或均线密集区）时，交易者行为会发生突变，引发集中买入或卖出。这种“突破后行为跃迁”的现象具有典型的非线性特性，而线性模型缺乏设定动态阈值的能力，难以刻画此类突变过程。

动量与反转的转换： 资产价格的趋势不会无限延续，当动量积累到一定程度后，可能触发反向调整。这种由“趋势延续”向“价格回归”的非线性转变，是线性模型无法有效覆盖的重要市场机制。

1.2 非线性模型的核心价值

从直观理解来看，线性模型相当于用一条直线去拟合一条复杂曲线，虽能反映大致趋势，却无法捕捉拐点、跳跃和结构转变。而非线性模型通过更灵活的函数形式，打破了“关系恒为线性”的限制，能够精确建模市场的非线性动态，包括突变、滞后交互以及状态依赖等行为，从而为量化策略提供更具现实解释力的工具支持。

def volatility_regime_factor(*args):
    """
    波动率状态因子 - 识别市场处于高波还是低波状态
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change().fillna(0)
    volatility = returns.rolling(10).std()

    # 计算波动率的Z-Score，判断其处于历史分布中的位置
    vol_mean = volatility.rolling(n).mean()
    vol_std = volatility.rolling(n).std()
    vol_zscore = (volatility - vol_mean) / (vol_std + 1e-8)

    # 使用平滑函数（模拟STAR）将Z-Score转化为状态概率 [0, 1]
    # 逻辑函数：低波时接近0，高波时接近1
    high_vol_prob = 1 / (1 + np.exp(-vol_zscore))
    df[factor_name] = high_vol_prob

    return df

二、主要非线性模型家族及核心解析

本章重点介绍五类能够有效识别并刻画金融市场非线性特征的模型。这些模型从不同角度切入，构建了多样化的分析框架，具体如下：

2.1 双线性模型：从线性到非线性的初步延伸

2.1.1 核心思想

双线性模型可视为ARMA模型向非线性方向的早期拓展。其创新之处在于，在传统ARMA结构基础上引入了滞后观测值与滞后残差的乘积项，形成“线性项 + 交叉项”的复合结构，从而初步捕捉变量间的非线性互动关系。

2.1.2 模型示例

一个典型的单变量双线性模型表达式为：

R_t = φ×R_t-1 + θ×a_t-1 + β×R_t-1×a_t-1 + a_t

其中，R_t 表示t时刻的资产收益率；φ为自回归系数，反映前期收益的影响；θ为移动平均系数，体现扰动项的持续性；β为双线性项系数，是捕捉非线性效应的关键参数；a_t 为当前期的随机扰动项。

2.1.3 模型直觉与应用现状

该模型的核心逻辑在于：外部冲击（以残差a_t-1表示）对当前收益的作用，并非独立发生，而是受到前期收益水平R_t-1的调制。换句话说，相同的市场冲击在不同行情背景下会产生不同的影响效果。尽管如此，作为非线性建模的初级尝试，双线性模型的表达能力较为有限，目前在实际量化交易中已较少直接应用，更多作为理论研究的基础参考。

def price_regime_factor(*args):
    """
    价格位置机制因子 - 判断价格处于关键位之上还是之下
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    price = df['close']
    # 计算相对于过去N期价格区间的位置（模拟TAR模型中的门限变量）
    rolling_high = price.rolling(n).max()
    rolling_low = price.rolling(n).min()
    # 将价格位置映射到[0,1]区间
    price_level = (price - rolling_low) / (rolling_high - rolling_low + 1e-8)

    # 因子值调整：区间中部为0，接近顶部（压力位）为-1（看空信号），接近底部（支撑位）为1（看多信号）
    df[factor_name] = 2 * (price_level - 0.5)  # 映射到[-1, 1]区间

    return df

2.2 门限自回归模型（TAR模型）：明确刻画机制切换

2.2.1 核心思想

TAR模型的关键突破在于引入“门限变量”和“临界值”，使模型参数随门限变量是否跨越某一预设阈值而发生改变，从而显式地描述市场运行机制的切换过程。其实质是将整个时间序列划分为多个区域，每个区域对应一种独立的动态机制，各机制下的自回归行为互不相同。

2.2.2 模型示例（两机制TAR）

最常见的两机制TAR模型形式如下：

R_t = { φ₁₀ + φ₁₁×R_t-1 + ... + a_1t, 若 R_t-d ≤ r }

R_t = { φ₂₀ + φ₂₁×R_t-1 + ... + a_2t, 若 R_t-d > r }

其中，R_t-d 为滞后d期的收益率，作为门限变量；r 为设定的门限值；φ₁₀、φ₁₁ 和 φ₂₀、φ₂₁ 分别代表两种机制下的常数项与自回归系数；a_1t、a_2t 为各自机制下的误差项。

2.2.3 模型直觉与实战价值

TAR模型的核心理念是：资产价格所处的不同区间会决定其未来演化路径的本质差异。例如，当滞后收益R_t-d ≤ r（价格处于低位区间）时，市场可能表现出较强的均值回归倾向（自回归系数为负）；而当R_t-d > r（价格处于高位区间）时，则可能呈现动量延续特征（自回归系数为正）。这一机制完美呼应了技术分析中“支撑位”与“压力位”的概念，能够精准识别价格突破关键位置后的行为转变，在择时策略设计中具有重要应用价值。

def nonlinear_momentum_factor(*args):
    """
    非线性动量因子 - 动量的效力会随着其自身强度非线性变化
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change()
    momentum = returns.rolling(n).mean()

    # 关键的非线性变换：使用双曲正切函数tanh(x)，将极端动量拉回，模拟衰减效应
    df[factor_name] = np.tanh(momentum * 5)  # 乘以5是为了调整敏感度

    return df

2.3 平滑转移自回归模型（STAR模型）：实现机制间的渐进过渡

2.3.1 核心思想

STAR模型是对TAR模型的进一步优化与发展。相较于TAR模型中机制切换的“突变式”特点（即硬切换），STAR模型通过引入平滑的转移函数（常见为逻辑函数或指数函数），实现了不同机制之间的连续渐变过渡。这种设计更加符合金融市场中“牛熊转换逐步演进”而非瞬间完成的真实情境，提升了模型的现实贴合度。

def sentiment_extremity_factor(*args):
    """
    情绪极端化因子 - 捕捉市场情绪的非线性变化
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change()

    # 计算连续上涨/下跌的天数（情绪惯性）
    up_days = (returns > 0).astype(int)
    down_days = (returns < 0).astype(int)

    up_streak = up_days * (up_days.groupby((up_days != up_days.shift()).cumsum()).cumcount() + 1)
    down_streak = down_days * (down_days.groupby((down_days != down_days.shift()).cumsum()).cumcount() + 1)
    net_streak = up_streak - down_streak

    # 非线性变换：情绪惯性不会无限线性增长，会有饱和效应
    df[factor_name] = np.arctan(net_streak / 3.0) # 除以3是调节因子

    return df

2.4 马尔可夫机制转换模型：对不可观测状态的概率化描述

市场的动态行为往往由一些无法直接观测的内在状态所驱动，例如“牛市”或“熊市”、“高波动”或“低波动”等。马尔可夫机制转换模型的核心假设正是基于这一点：时间序列的统计特性由一个隐藏的状态变量 s_t 控制，该变量遵循马尔可夫过程，在不同机制之间随机跳转。在每一个状态下，模型的参数如均值、自回归系数和波动率都会发生变化，从而反映不同的市场环境。

2.4.1 核心思想

该模型认为，尽管我们不能直接观察到当前市场处于何种状态，但可以通过资产收益率、波动水平等可观测数据来推断其可能所处的状态。状态之间的转换依赖于转移概率矩阵，即从一种状态转移到另一种状态的可能性是固定的，并仅依赖于当前状态（无记忆性）。这种设定使得模型既能刻画市场的结构性变化，又能保留一定的预测能力。

2.4.2 模型形式示例

一个简化的马尔可夫机制转换模型可表示为：
R_t = μ_st + φ_st × R_t1 + σ_st × ε_t

其中，s_t 表示 t 时刻的潜在状态（例如 s_t=1 对应低波动状态，s_t=2 对应高波动状态）；μ_st、φ_st 和 σ_st 分别为该状态下收益的均值、自回归系数和波动率；ε_t 是标准正态分布的随机扰动项。状态切换由马尔可夫链的转移概率控制。

2.4.3 模型直觉与实际应用价值

虽然市场的真实状态不可见，但我们能通过观测变量的行为特征进行反推。比如当资产价格持续下跌且波动加剧时，模型会提高系统处于“高波动熊市”状态的概率估计。这种方法并不追求精确判断转折点，而是提供一种概率框架下的决策支持——根据当前最可能的状态调整策略配置。这既尊重了市场演变的随机本质，也为量化交易提供了稳健的风险管理依据，成为识别市场模式切换的重要工具。

2.5 神经网络与非参数方法：数据驱动的灵活建模路径

相较于传统参数模型需要预先设定函数结构，神经网络与非参数方法完全摆脱了固定形式的限制，采用高度灵活的数据驱动策略，利用复杂的网络架构（如多层感知机、激活函数组合）或局部拟合技术（如核密度估计、局部加权回归），自动挖掘数据中潜在的非线性关系。这类方法已成为现代机器学习应用于金融时间序列分析的关键组成部分。

2.5.1 核心理念

此类模型不依赖先验假设，无需明确指定非线性类型（如是否存在阈值效应或平滑转移），而是让算法从历史数据中自主学习规律。其核心优势在于强大的表达能力和适应性，特别适合处理金融市场中复杂多变、难以用简单规则概括的行为模式。

2.5.2 应用优势与典型场景

这些方法的最大特点是灵活性强，能够捕捉传统线性或参数模型难以发现的深层结构。在量化实践中，广泛应用于行情走势预测、因子生成、策略参数优化等领域，有效连接了经典计量经济学方法与前沿人工智能技术，是实现智能交易系统的重要支撑。

2.3.2 STAR模型的直观理解及其优势

金融市场中的状态转变通常并非瞬间完成，而是一个渐进的过程。例如，市场从熊市底部震荡筑底，逐步过渡到牛市初期的温和上涨，再进入中期加速上行阶段，整个过程中机制的变化是连续且缓慢的。STAR模型通过引入平滑转移函数，能够精准刻画这种渐变特征。转移速度可通过参数调节，避免了TAR模型那种“硬切换”带来的突兀感，同时保留了机制转换模型的核心逻辑，使对市场状态的描述更加贴近现实，细节更丰富。

三、非线性模型在量化交易中的实战应用：捕捉结构性转变

非线性模型的核心作用在于识别并利用市场中存在的结构性变化与模式迁移。在实际量化操作中，这些模型主要通过构建“非线性因子”的方式落地实施，为交易策略提供精细化的信号输入。以下是四种基于非线性建模范式的实战因子设计思路及其实现代码：

3.1 因子思路一：波动率状态识别因子（源自机制转换思想）

受马尔可夫机制转换模型与STAR模型启发，本因子通过分析波动率的时间序列特征，识别市场当前更倾向于“低波动”还是“高波动”状态，并将状态信息转化为可量化的概率输出，用于辅助仓位控制与止损设置。

3.1.1 核心逻辑

利用历史波动率序列训练模型，估计当前处于高/低波动状态的后验概率。这一因子本质上是一种隐含状态推断工具，能够在不依赖主观阈值的情况下动态感知风险水平变化。

3.1.2 实战代码

def volatility_regime_factor(*args):
    """
    波动率状态因子 - 识别市场处于高波还是低波状态
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change().fillna(0)
    volatility = returns.rolling(10).std()

    # 计算波动率的Z-Score，判断其处于历史分布中的位置
    vol_mean = volatility.rolling(n).mean()
    vol_std = volatility.rolling(n).std()
    vol_zscore = (volatility - vol_mean) / (vol_std + 1e-8)

    # 使用平滑函数（模拟STAR）将Z-Score转化为状态概率 [0, 1]
    # 逻辑函数：低波时接近0，高波时接近1
    high_vol_prob = 1 / (1 + np.exp(-vol_zscore))
    df[factor_name] = high_vol_prob

    return df

3.1.3 使用逻辑说明

当因子值大于0.7时，表明市场大概率处于高波动环境，建议降低持仓比例，并放宽止损空间以应对剧烈波动；
当因子值小于0.3时，说明市场趋于平稳，适合增加敞口，采用趋势跟踪策略获取稳定回报。

3.2 因子思路二：价格位置机制因子（基于TAR模型理念）

借鉴TAR模型中的“阈值效应”，将价格相对于近期波动范围的位置作为门限变量，判断其是否突破关键支撑或阻力位，进而构建交易信号因子，契合技术分析中“支撑-压力”体系的操作逻辑。

3.2.1 核心逻辑

通过计算当前价格在N周期最高最低区间内的相对位置（如百分比位置），设定门限条件来区分“高位突破”与“低位企稳”两种情形，形成非线性响应机制，提升策略在关键价位附近的反应灵敏度。

3.2.2 实战代码

def price_regime_factor(*args):
    """
    价格位置机制因子 - 判断价格处于关键位之上还是之下
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    price = df['close']
    # 计算相对于过去N期价格区间的位置（模拟TAR模型中的门限变量）
    rolling_high = price.rolling(n).max()
    rolling_low = price.rolling(n).min()
    # 将价格位置映射到[0,1]区间
    price_level = (price - rolling_low) / (rolling_high - rolling_low + 1e-8)

    # 因子值调整：区间中部为0，接近顶部（压力位）为-1（看空信号），接近底部（支撑位）为1（看多信号）
    df[factor_name] = 2 * (price_level - 0.5)  # 映射到[-1, 1]区间

    return df

3.3 因子思路三：动量非线性衰减因子（融合双线性与STAR思想）

结合双线性模型的交互效应与STAR模型的平滑过渡特性，本因子旨在捕捉动量效应的非线性演化规律——即动量强度并非越强越好，当达到极端水平时常伴随反转信号出现，因此需对其进行非线性压缩处理，优化入场时机。

3.3.1 核心逻辑

动量因子经过 tanh(x) 等饱和型函数变换后，可在弱动量区域保持线性增长，在强动量区域趋于收敛，从而抑制过度追涨杀跌的风险，增强策略稳定性。

3.3.2 实战代码

def nonlinear_momentum_factor(*args):
    """
    非线性动量因子 - 动量的效力会随着其自身强度非线性变化
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change()
    momentum = returns.rolling(n).mean()

    # 关键的非线性变换：使用双曲正切函数tanh(x)，将极端动量拉回，模拟衰减效应
    df[factor_name] = np.tanh(momentum * 5)  # 乘以5是为了调整敏感度

    return df

3.3.3 因子背后的市场直觉

双曲正切函数（tanh(x)）具有良好的非线性特性：在输入较小时近似线性增长，体现“动量增强”效应；当输入增大至一定程度后，输出逐渐趋近于±1，表现出“动量饱和”甚至“反转预警”的特征。这种设计恰好符合“极端情绪易引发反转”的市场经验，有助于过滤动量策略中的虚假信号，提升整体表现。

3.4 因子思路四：市场情绪极端化因子（基于非线性状态转换理念）

借助非线性状态转换的思想，本因子旨在识别投资者情绪是否进入极端区域（如过度乐观或悲观），并通过状态跃迁特征提前预警潜在的市场反转风险。它综合成交量、波动率、资金流向等多个维度指标，构建复合式情绪监测机制，服务于逆向交易策略。

市场情绪的变化呈现出明显的非线性特点。尽管连续的价格上涨或下跌会形成情绪上的惯性，但这种惯性并不会持续增强，反而会在某一阶段出现饱和现象。本因子通过统计价格连续涨跌的天数（即情绪惯性），并施加非线性转换，有效识别情绪的极端水平，从而为反转交易策略提供关键信号。

def sentiment_extremity_factor(*args):
    """
    情绪极端化因子 - 捕捉市场情绪的非线性变化
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]

    returns = df['close'].pct_change()

    # 计算连续上涨/下跌的天数（情绪惯性）
    up_days = (returns > 0).astype(int)
    down_days = (returns < 0).astype(int)

    up_streak = up_days * (up_days.groupby((up_days != up_days.shift()).cumsum()).cumcount() + 1)
    down_streak = down_days * (down_days.groupby((down_days != down_days.shift()).cumsum()).cumcount() + 1)
    net_streak = up_streak - down_streak

    # 非线性变换：情绪惯性不会无限线性增长，会有饱和效应
    df[factor_name] = np.arctan(net_streak / 3.0) # 除以3是调节因子

    return df

四、总结与应用

核心价值： 第七章所提出的模型正视了市场的复杂性、多变性以及结构性断点的存在，提供了应对这类动态环境的有效工具。

主要信息： 并不存在一种在所有市场环境下都持续有效的“万能策略”。策略的表现高度依赖于当前市场所处的“模式”或“状态”。

数字货币中的实际应用：

• 策略择时： 在市场波动率较低时采用趋势跟踪策略，在高波动时期则转向反转策略或选择空仓观望。
• 动态参数调整： 根据识别出的市场状态，实时优化策略参数，例如调整止损范围或仓位规模。
• 预警功能： 机制切换因子本身可作为早期预警指标，提示市场可能即将进入结构转变或剧烈波动阶段。

对于像数字货币这样频繁经历模式切换和结构性断裂的市场而言，第七章引入的非线性模型相比传统线性方法，能够提供更为深刻和精准的市场理解。

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关键词：非线性时间序列 时间序列模型 时间序列分析 python 时间序列

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