MPC模型预测控制：从原理到代码实现

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从原理到代码实现：深入理解MPC模型预测控制

在现代控制工程领域，模型预测控制（Model Predictive Control, 简称MPC）因其卓越的动态性能与对约束条件的良好处理能力，已成为工业自动化、机器人、自动驾驶等多个领域的核心技术之一。本文将系统性地介绍MPC的基本原理、数学推导过程，并结合Matlab与C++两种语言的编程实现方式，辅以四个典型工程应用案例，帮助读者全面掌握该技术。

MPC的核心思想与数学建模

MPC的本质是一种基于模型的闭环优化控制策略。其工作方式是在每一个采样时刻，利用当前系统的状态信息和已知的系统模型，对未来一段时间内的系统行为进行预测，并通过求解一个有限时域的最优控制问题，得到一组未来控制序列。随后仅执行该序列中的第一个控制动作，下一时刻再根据新的状态重新计算，形成滚动优化机制。

考虑一个离散时间线性时不变系统，其状态空间表达式如下：

% 离散时间线性系统状态空间方程
x(k+1) = A*x(k) + B*u(k);
y(k) = C*x(k);

其中：

• x(k)

  表示时刻

  k

  的系统状态向量；

• u(k)

  为控制输入向量；

• y(k)

  是系统输出向量；

• A

  、

  B

  、

  C

  分别为系统的状态转移矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

在MPC框架下，控制器的目标是使系统输出尽可能逼近预设的参考轨迹。为此，在每个时刻需解决以下优化问题：

% 目标函数
min J = sum((y_ref(k+i) - y(k+i))^2 + R*u(k+i)^2) for i = 0:N-1;
% 约束条件
u_min <= u(k+i) <= u_max;
x_min <= x(k+i) <= x_max;

其中：

• y_ref(k+i) 表示第 i 步后的期望输出；

• R

  和

  u

  分别为输出误差与控制增量的加权矩阵；

• min

  和 u_max 限定控制输入的上下边界；

• x_max

  和

  x

  对系统状态施加物理或安全约束。

该优化问题通常被转化为二次规划（QP）形式，使用标准求解器快速获得最优控制序列

u(k), u(k+1), ..., u(k+N-1)

。实际施加于系统的仅为序列首项

u(k)

，之后随时间推进不断重复此过程，实现滚动优化与反馈校正。

编程实现方案对比：Matlab 与 C++

Matlab环境下的MPC实现

Matlab提供了功能强大的

mpc

工具箱，支持用户便捷地设计、仿真并部署MPC控制器。以下是一个基础实现流程示例：

% 系统参数
A = [1 1; 0 1];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;

% 创建MPC控制器
Ts = 1; % 采样时间
Np = 10; % 预测时域
Nu = 5; % 控制时域
mpcobj = mpc(ss(A,B,C,D,Ts), Np, Nu);

% 参考轨迹
t = 0:Ts:100;
y_ref = ones(size(t));

% 仿真
x0 = [0; 0]; % 初始状态
[y, u] = mpcobj.simulate(y_ref, t, x0);

% 绘图
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, y, 'b', t, y_ref, 'r--');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Output');
legend('Actual Output', 'Reference Output');

subplot(2,1,2);
plot(t, u);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Control Input');

代码解析：

• 首先设定系统参数

  A

  、

  B

  、

  C

  、

  D

  ；
• 调用

  mpc

  函数创建MPC控制器对象

  mpcobj

  ，并配置预测时域

  Np

  与控制时域

  Nu

  ；
• 定义参考信号

  y_ref

  后，使用

  simulate

  函数运行闭环仿真，获取输出响应

  y

  与实际控制量

  u

  ；
• 最后通过

  subplot

  函数将结果可视化在同一图表中，便于分析跟踪效果。

C++平台上的MPC开发实践

对于嵌入式系统或实时控制场景，C++成为更合适的选择。借助开源数值计算库如Eigen进行矩阵运算，配合非线性优化求解器Ipopt，可构建高效的MPC求解流程。示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

// 系统参数
Eigen::MatrixXd A(2, 2);
Eigen::MatrixXd B(2, 1);
Eigen::MatrixXd C(1, 2);

// 初始化系统参数
void init_system() {
    A << 1, 1, 0, 1;
    B << 0, 1;
    C << 1, 0;
}

// MPC控制器
double mpc_controller(Eigen::VectorXd x, double y_ref) {
    // 这里省略了优化求解的具体代码
    // 实际应用中需要使用优化库如Ipopt来求解优化问题
    double u = 0.1; // 简单示例，实际应根据优化结果计算
    return u;
}

int main() {
    init_system();
    Eigen::VectorXd x(2);
    x << 0, 0; // 初始状态
    double y_ref = 1; // 参考输出

    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double u = mpc_controller(x, y_ref);
        x = A * x + B * u;
        double y = C * x;
        std::cout << "Time: " << i << ", Output: " << y << ", Control Input: " << u << std::endl;
    }

    return 0;
}

实现说明：

• 初始化阶段调用init_system函数加载系统模型参数

  A

  、

  B

  、

  C

  ；
• 定义

  mpc

  controller

  函数用于构造并求解MPC优化问题，本例中为简化逻辑返回固定控制值；
• 主循环位于

  main

  函数内，设置初始状态与目标输出，进行100步仿真迭代，逐次打印系统输出与控制输入值。

典型工程应用案例分析

案例一：双积分系统控制

双积分器是一种典型的二阶线性系统，广泛用于验证各类控制算法的稳定性与响应特性。MPC能够有效处理其状态约束与输入限制，实现精准的位置与速度跟踪。

案例二：倒立摆系统的稳定控制

倒立摆是非线性、不稳定系统的经典代表。通过在其平衡点附近进行局部线性化处理，可将其近似为线性系统，进而应用线性MPC策略实现杆体直立状态的持续稳定控制。

案例三：车辆运动学轨迹跟踪

基于自行车模型的车辆运动学方程，MPC可根据当前位置、航向角及目标路径信息，实时规划出最优前轮转角与加速度指令，确保车辆平滑且准确地沿期望轨迹行驶。

案例四：车辆动力学高精度控制

进一步引入轮胎力、纵向/横向动力学耦合等因素，构建更精确的车辆动力学模型。在此基础上设计的MPC控制器能综合考虑路面附着极限、侧滑风险等约束，显著提升操控安全性与轨迹跟踪精度。

总结

通过对MPC模型预测控制的原理剖析、数学建模、多语言编程实现以及多个真实工程场景的应用展示，可以看出该方法不仅理论严谨，而且具备极强的实用性与扩展性。无论是在学术研究还是工业落地中，MPC都展现出巨大的潜力。希望本文内容能为读者提供清晰的学习路径和技术参考，助力深入掌握这一先进控制技术。

x(k)

k

u(k)

y(k)

A

B

C

N

i

min

x

x_max

u(k), u(k+1), ..., u(k+N-1)

D

mpcobj

Np

Nu

y_ref

simulate

y

u

subplot

mpc

controller

main

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关键词：预测控制 模型预测 MPC Predictive control

相关内容：代码模型实现