线性代数核心概念：正定矩阵、合同矩阵与正交矩阵

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在线性代数的理论体系中，正定矩阵、合同矩阵以及正交矩阵是三个核心概念，广泛应用于数学分析、优化理论和工程计算等领域。本文将系统梳理这些概念的定义、性质及其内在联系，并重点探讨实对称矩阵所具备的独特特性。

1. 正定矩阵

定义：
设 $ A $ 为一个 $ n \times n $ 的实对称矩阵，若对任意非零向量 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $，均有：

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0, $$

则称 $ A $ 为正定矩阵。
在复数域中，若 $ A $ 是厄米特矩阵（即满足 $ A^H = A $），且对任意非零复向量 $ \mathbf{z} \in \mathbb{C}^n $，有：

$$ \mathbf{z}^H A \mathbf{z} > 0, $$

则称 $ A $ 为复正定矩阵。

主要性质与等价条件：

• 所有特征值均为正实数
• 行列式大于零：$ \det(A) > 0 $
• 各阶顺序主子式均大于零（Sylvester准则）
• 矩阵可逆，且其逆矩阵也是正定的
• 存在Cholesky分解：$ A = LL^T $，其中 $ L $ 为下三角矩阵，对角元素均为正数
• 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 $ P $，使得 $ A = P^T P $
• 主对角线上的元素全部为正
• 两个正定矩阵的和仍为正定矩阵

几何意义：
正定矩阵对应的二次型 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $ 在非零向量上恒为正值，其等值面 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1 $ 构成一个椭球面。在最优化问题中，若目标函数的Hessian矩阵为正定，则该点为严格的局部极小值点。

2. 合同矩阵

定义：
对于两个 $ n \times n $ 的实对称矩阵 $ A $ 和 $ B $，若存在一个可逆矩阵 $ P $，使得：

$$ B = P^T A P, $$

则称 $ A $ 与 $ B $ 合同。
在复数情形下，若 $ A $ 和 $ B $ 为厄米特矩阵，且存在可逆矩阵 $ P $ 满足：

$$ B = P^H A P, $$

则称二者在复意义下合同。

核心定理 —— 西尔维斯特惯性定理：
实对称矩阵在合同变换下，其惯性指数 $ (p, q, r) $ 保持不变，其中：

• $ p $：正特征值的个数
• $ q $：负特征值的个数
• $ r $：零特征值的个数（即 $ r = n - \text{rank}(A) $）

因此，两个实对称矩阵合同的充要条件是它们具有相同的惯性指数。

合同与相似的关系：
- 相似关系定义为：$ B = P^{-1} A P $，要求两矩阵具有完全相同的特征值（含重数）。
- 合同关系定义为：$ B = P^T A P $，仅要求惯性指数一致。
对于实对称矩阵而言，相似一定意味着合同，但合同不一定相似。
例如，矩阵 $ \text{diag}(1,1) $ 与 $ \text{diag}(4,1) $ 具有相同的正惯性指数，故合同；但由于特征值不同，不相似。

3. 实对称矩阵的特征向量正交性

定理内容：
实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量必定相互正交。

证明思路：
设 $ A\mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1 $，$ A\mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2 $，且 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $。由于 $ A^T = A $，考虑如下推导：

$$ \mathbf{v}_1^T A \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2, \quad \text{同时} \quad (A\mathbf{v}_1)^T \mathbf{v}_2 = \lambda_1 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2. $$

结合 $ A = A^T $ 可得：

$$ \lambda_1 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 \Rightarrow (\lambda_2 - \lambda_1)\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0. $$

因 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $，必有 $ \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0 $，即两向量正交。

重要意义：
这一性质是谱定理的基础：任意实对称矩阵均可通过正交矩阵实现对角化，即存在正交矩阵 $ Q $，使得：

$$ Q^T A Q = \Lambda, $$

其中 $ \Lambda $ 为由特征值构成的对角矩阵。

4. 正交矩阵

定义：
一个实方阵 $ P $ 称为正交矩阵，当且仅当：

$$ P^T P = P P^T = I, $$

亦即 $ P^T = P^{-1} $。

名称来源：
正交矩阵的列向量（或行向量）构成一组标准正交基——彼此正交且模长为1。设 $ P = [\mathbf{p}_1, \ldots, \mathbf{p}_n] $，则有：

$$ \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{p}_j = \delta_{ij}, $$

正是由于这种向量间的“正交”关系，该类矩阵被称为“正交矩阵”。

常见误区澄清：
需注意区分“向量正交”与“正交矩阵”的概念：
两个向量 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $ 正交，指的是它们的内积为零，即 $ \mathbf{u}^T \mathbf{v} = 0 $；而正交矩阵是一类特殊矩阵，其整体结构满足转置等于逆的性质。

正交矩阵是指满足条件 \( P^T P = I \) 的矩阵 \( P \)，其中 \( I \) 为单位矩阵，而非 \( P^T P = 0 \)。这类矩阵具有若干重要性质：

首先，正交矩阵保持向量的内积与长度不变，即对任意向量 \( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \)，有：

\[ (P\mathbf{x}) \cdot (P\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \]

其次，正交矩阵的行列式值为 \( \pm 1 \)，其对应的线性变换表示空间中的旋转或反射。

正定矩阵则用于刻画二次型的正定特性，在凸优化问题中扮演核心角色。一个实对称矩阵若所有特征值均为正，则该矩阵为正定矩阵，确保了对应二次型在非零输入下恒为正值。

合同矩阵描述的是在可逆线性替换下二次型之间的等价关系。两个矩阵 \( A \) 和 \( B \) 称为合同的，当存在可逆矩阵 \( C \)，使得 \( B = C^T A C \)。此类关系由惯性指数（正、负、零特征值的个数）完全决定，体现了二次型在不同坐标系下的分类结构。

上述三类矩阵——正定矩阵、合同矩阵与正交矩阵——构成了线性代数的重要理论支柱。它们之间通过实对称矩阵的性质相互关联：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，从而保证了其可被正交对角化。这一性质是主成分分析（PCA）等降维方法的数学基础。

深入理解这些概念及其内在联系，对于掌握现代科学计算、数值算法设计以及机器学习中的模型原理具有重要意义。

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关键词：线性代数 正交矩阵 正定矩阵 心概念 Cholesky