求布朗运动的期望值

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已知t<s<r,   怎麼求E[W(t)W(s)W(r)]啊？ W是標準布朗運動

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关键词：布朗运动 期望值 期望值

E(WtWsWr) = E[E(WtWsWr|Fs)]=E(WtWsWs)=E[E(WtWsWs|Ft)]=...
点到为止，顺这个思路自己做，记得要加学术点哦亲

让我试着解一下：
为书写方便，令s-t=a, r-s=b
W(s)=W(t)+W(s-t)=w(t)+w(a)，注意：根据布朗運動性质，w(a)与w(t)独立
W(r)=W(t)+W(s-t)+w(r-s)=w(t)+w(a)+w(b)，注意：根据布朗運動性质，w(a)与w(t)与w(a)相互均独立

E[W(t)W(s)W(r)]=E[w(t)*(w(t)+w(a))*(w(t)+w(a)+w(b))]
=E[w(t)^3+2*w(t)^2*w(a)+w(t)*w(a)^2+w(t)^2*w(b)+w(t)*w(a)*w(b)]
=E[w(t)^3]+E[2*w(t)^2*w(a)]+E[w(t)*w(a)^2]+E[w(t)^2*w(b)]+E[w(t)*w(a)*w(b)]

w(t)~N(0,t),所以上式第1项 E[w(t)^3]=0, 根据正态分布的性质，w(t)的PDF是以0为对称的，所以奇数阶原点距（1阶原点距，3阶原点距，5阶原点距，。。。）均是0

上式第2项 E[2*w(t)^2*w(a)]=因为w(a)与w(t)独立=2*E[w(t)^2]*E[w(a)]=2*t*0=0
上式第3项 E[w(t)*w(a)^2]=因为w(a)与w(t)独立=E[w(t)]*E[w(a)^2]=0*a=0
上式第4项 E[w(t)^2*w(b)]=因为w(b)与w(t)独立=E[w(t)^2]*E[w(b)]=t*0=0
上式第5项 E[w(t)*w(a)*w(b)]=因w(a)与w(t)与w(a)相互均独立=E[w(t)]*E[w(a)]*E[w(b)]=0*0*0=0

所以上式E[W(t)W(s)W(r)]=0+0+0+0+0=0

随机不可测

TimeT 发表于 2013-12-16 23:13
让我试着解一下：
为书写方便，令s-t=a, r-s=b
W(s)=W(t)+W(s-t)=w(t)+w(a)，注意：根据布朗運動性质，w( ...

好棒啊~~感觉是对的呢