【小概率·大名堂】12.概率论里的“大叔”和“正太”——小正太篇

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      上篇讲了大数定律，当然大叔配的是萝莉，熟女配……当然是“正态”啦！
       恩恩，本期说的就是正态分布。
       在上期结尾处我们已经提过这个名词，现在就来进一步讲讲“小正态”的故事——

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1、“正太”是被谁发现的？
       说起正态分布，不能不提的就是高斯啦~~~因为正态分布也叫高斯分布（正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布），高斯还通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明，同时那个很有名的最小二乘也是跟高斯有密切关系哒~~
       当然，历史上钟情小“正太”的不止高斯大叔一人，棣莫弗在1718年的著作和174年发表的一篇关于二项分布文章中提出的，当二项随机变量的位置参数n很大及形状参数p为1/2时，则所推导出二项分布的近似分布函数就是正态分布。
       拉普拉斯也不甘落后，在1810年发表的文章中加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有正态分布。


2、到底什么是正态分布？
定义：若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为


则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。当时，正态分布就成为标准正态分布


正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

.

3、正态分布具有哪些性质？

• 如果且与是实数，那么 (参见期望值和方差).
• 如果与是统计独立的常态随机变量，那么：
• 它们的和也满足正态分布 (proof).
• 它们的差也满足正态分布.
• 与两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
  

• 如果和是独立常态随机变量，那么：
  
  • 它们的积服从概率密度函数为的分布其中是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）
  • 它们的比符合柯西分布，满足.
    
• 如果为独立标准常态随机变量，那么服从自由度为n的卡方分布。
  

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       其实楼主觉得在众多分布中，人们对正态分布的关注度最高，也研究的最透。当然其本身的对称性等特质也便于研究（很多研究体在样本量大的情况下都能近似到小正太上，这也是他得宠的一大关键），所以那些性质推导包括相关的概率分布的一些拓展，谷哥度娘都能帮到你，楼主只是粗（初）讲而已……
       所以为了更生动的展现，楼主借来就大致讲讲那些藏在芸芸众生里的小“正太”

       凤姐不是谁都能当得好么？奶茶妹也不是满大街都有的好么？楼主作为一个女汉纸，目测就是右下角那类了吧……
       OK~~此图意在表明，大多数的人长相，身高和其他特征都是较为集中在纵轴附近的，咱真心区别不大……（投胎是门技术活啊！）

还有啊还有啊，你还记得当初读书时那些学霸和学渣么？你以为他们的智力真的很“离奇”么？其实，也就大概是这样分布的

（以100人为例）
若人数多点，也就这样啦——

        呵呵~~你以为世上有那么多爱因斯坦，高斯，和莫扎特，达芬奇么？？？

（你们考虑过我的感受么？我IQ230你造么？）

       不得不说，学习成绩，个人发展，智商，长相好多好多类似指标，其实都是一种正态分布（我记得以前我们老师也把它说成是橄榄形，估计她觉得说正态分布太高深了……），但有一个方面我觉得是现在越来越受关注了，那就是质量控制！

大多数企业估计用的都是3质量控制系统，但如果是一些高科技高精密度领域的企业，用的就会使6质量控制体系了。这3和6其实就是正态分布一个最典型的应用！

在正态分布曲线下，标准差与正态分布曲线下的面积（概率）之间有一定的数量关系。

• 平均数左右1个标准差的范围内，包含全部数据的68.26%
• 平均数左右1.96个标准差的范围内，包含全部数据的95%
• 平均数左右2.58个标准差的范围内，包含全部数据的99%
  

       在产品监控方面，若被测产品的参数值在均值正负3σ范围内，则认为是正常值，否则认为是异常值。（这里面也涉及到了假设检验的知识）
最后关于正态分布，给大家两个链接，是科学松鼠会的关于正态分布的前世今生，有兴趣的可以看一下（文章有点长）http://songshuhui.net/archives/76501（上）
http://songshuhui.net/archives/77386（下）
本期的专题就结束了~~~

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关键词：概率论 function Modified Archive 人大经济论坛网 概率论 正太 正态分布 高斯

https://bbs.pinggu.org/thread-1516346-1-1.html

程士宏《测度论和概率论基础》第六章有更加一般的大数定理证明。。谢谢楼主分享！

不错，不知楼主以往的文章还有哪些

支持，学习学习

形象生动，深入浅出！

有的公式看不到啊！！

胖胖小龟宝 发表于 2014-8-20 09:11
上篇讲了大数定律，当然大叔配的是萝莉，熟女配……当然是“正态”啦！
       恩恩，本 ...

萌萌哒的楼主

我爱正太