[数理NIE6]制度－博弈版际互动4——车迟国王与虎力大师的降雨契约（已公布答案）

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这次的制度－博弈版际互动题目还是我来出，但这次我不是将一篇论文改造成一道题目，而是直接根据他人教科书和《西游记》改编。

话说车迟国连续多月大旱，国王甚是着急，不得已求助于虎力大师，希望大师做法降雨。但是又不能请来冒牌货，这样会玷污国王的名声。假定根据天气状况判断，天文官认为明天下雨的概率是20％。众所周知，假法师肯定求不来雨，而真法师有80％的把握保证明天一定下雨。是真是假，只有法师自己知道。假设国王是风险中性的，真假法师都是风险规避的，他们的效用函数形式为u(w)=w^0.5，即w开根号。真法师的保留效用是10，假法师是4。

请写出并求解国王保证请到真法师的最佳契约。

说明：经网友zqdong提醒，为了保证解的存在，已经将假法师的保留效用改为4。经我计算，可以求出整数解。现在请网友根据我们的对话自己求解，有空的时候我会考虑修改效用函数的形式以便进一步增加难度。

答案在24楼。

[此贴子已经被作者于2005-8-22 16:54:59编辑过]

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关键词：zqdong 效用函数 一篇论文 众所周知 dong 博弈 大师 契约 数理 迟国王与

这是一个逆向选择问题，由于要确保请到真法师，因而其解要求满足既要令高效率代理人加入，又要关闭低效率代理人。

令（x，y）为最优解，x为出现降雨给法师奖励，y是没有降雨给法师的惩罚。那么只需解以下方程组：

对于假法师须满足 0.2x+0.8y=1^2

对于真法师须满足 0.8x+0.2y=10^2

结果 x=133,y=-32 由于真假法师都风险规避,因而等量的风险收益效用小于确定收益效用。这样需要按照

风险规避程度适当的加大奖励和惩罚，从而确保真法师的求雨效用大于其保留效用，而假

法师的效用不高于其保留效用即可。

[此贴子已经被作者于2005-7-22 0:54:50编辑过]

你说需要加大奖励和惩罚，那么加大多少合适呢？可见你还是没有解出来。既然你已经意识到效用函数的性质，为什么不在“约束方程”组里考虑呢？还有，你似乎对于委托－代理理论或者契约理论的解法不太熟悉，建议你看看书。

不管怎么说，我认为你在思路方面已经接近了正确答案，奖励金钱和积分各50。

假定国王设定一个机制，让实现了降雨的法师获得A，没有完成任务的获得B。国王的目标就是让真假法师实现分离均衡，即真法师会来做法，而假法师不会来。

真法师参与约束是获得10，激励约束是比不参与获得多也就是为0，因此真法师期望所得要大于10即满足两个约束条件，即0.8A+0.2B要大于等于100。

假法师不参与约束是获得少于1，激励约束是不参与获得少于0，因此只要假法师期望所得少于0即可满足两个约束条件，即0.2A+0.8B要小于等于0。

实际上，只要以上两个约束条件取等式即可以实现分离均衡，这时A=400/3，B=-100/3，即对得雨者奖励400/3，对失败者惩罚100/3，国王即可以让真法师参与做法，而假法师不会参与。

但是，解法里没有用到给出的国王的风险中性和法师的风险归避这两个条件，不是题出得不理想，就是解法还有问题。

以下是引用ren在2005-7-28 7:50:27的发言： 但是，解法里没有用到给出的国王的风险中性和法师的风险归避这两个条件，不是题出得不理想，就是解法还有问题。

那说明你也许需要了解一下代理模型的基本解法。

事实上，你们两个的解答都部分接近了正确答案，但是差一点的原因就是因为你们在解题方法上还需进一步。希望大家一定要掌握解题方法，这也是我们一直强调的。

我个人总感觉题目有些问题，问题出在委托人（国王）的效用函数。

按照题目的条件，国王和真假法师的效用函数都是U=W^1/2 ，而且国王为风险中性，法师为风险回避。

我们知道风险规避系数р=U"/U'，由于国王为风险中性时，р =0，从而U"=0，U'为常数。可见，国王的效用函数应是一条直线，而非凸函数U=w^1/2。

而法师为风险规避，于是р<0，U' >0，U"<0，与凸函数U=w^1/2相符。

代理问题的标准解法是在满足代理人保留效用及激励相容约束条件下，求委托人效用函数的最大值，一般使用拉格朗日乘法即可求解。其最优解在图形中表现为委托人的直线效用函数与代理人的凸效用函数的切点。

正因为题目缺少了委托人（国王）的正确效用函数，使本人难以运用标准方法，而且求出的解集难以收敛为最优解。

希望版主详察和指正。

[此贴子已经被作者于2005-7-29 2:52:11编辑过]

我不喜欢别人动不动就说题目错了。

谢谢nie版主的回复，我就不说什么了。

我要下载点资料没分数，回答一下给我点奖励吧

如果（H*，L*）是一个最优筛选契约，那么它将满足

0.8*(H*)^0.5+0.2(L*)^0.5>=10 （真法师参与）

0.2*(H*)^0.5+0.8(L*)^0.5<1 (假法师拒绝参与)

上述两条件都是紧的

满足条件应当是(H*)^0.5=13, (L*)^0.5=-2　　　　但好象有点问题，L*开根号不可能为负数。

我觉得是不是还要假定出负的财产(w<0)下法师的效用函数才行啊？单是u(w)=w^0.5，怎么确定罚款带来的负效用呢？