关于数学期望的一个小故事

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       早些时候，法国有个大数学家叫做布莱士·帕斯卡。
       帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？
       是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。
       为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4,当然，B就应该得1/4。
       数学期望由此而来。

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关键词：数学期望 小故事 帕斯卡 可能性 数学家 小故事 数学

有点意思，可作为闲聊的谈资。

这就是数学期望的来历

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。录比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

概率论起源于博弈问题。

1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？

帕斯卡与另一位法国数学家费马（Fermat, 1601～1665）在一系列通信中就这一问题展开了讨论。事实上，很容易设想出以下两种分法：（1）甲得100·(1/2) 法郎，乙得100·(1/2) 法郎；（2）甲得100·(2/3) 法郎，乙得100·(1/3) 法郎。

第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了“甲乙赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。

那么，这更合理的第三种分法又该怎样分呢？

试想，假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜（概率为1/2），则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注（这两局出现此种情形的概率为(1/2)·(1/2)=1/4 ）。若设甲的最终所得为X ，则

P(X=100)=1/2+1/4=3/4

于是，X的分布律为

X

0

100

p

1/4

3/4



从而甲的“期望” 所得应为0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎；乙的“期望”所得应为100-75=25法郎。这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。

这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”会更形象易懂一些，对上例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢75法郎。

后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens,1629-1695）的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。

这是概率论历史上重要的一段经历

abejohn 发表于 2015-1-30 17:43
早些时候，法国有个大数学家叫做布莱士·帕斯卡。
       帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出 ...

说白了。按照剩余赌博的次数分配。赌博要求赢100次或者要求赢1000次也一样，都是次要条件。剩余赌博次数还剩3次就按3次算。

概率论与数理统计

thanks for sharing

有点意思，科学发展、社会进步往往起源于生活中的一件小事。