样本k阶原点矩和中心矩

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原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩也是矢量，它等于力乘力臂。由此可见数学和物理关系非同一般！

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关键词：随机变量 空间分布 物理学 作用力 样本 中心 空间 平面

当谈到方差时，方差公式中的系数为什么是1/（N-1）而不是1/N呢？

朋友告诉过我说物理和化学中经常会有实验和实验产生的新的发现，而像数学这一类基础研究性学科却很少有所突破。我现在觉得事实好像不是这样的，也许通过数字的求解和运算本身就是一种实验呢……

你说的没错，通过数字的求解和运算本身就是一种实验。
\[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\\
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\\
\mathbb{E}(S^2)=\sigma^2\\
\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leqslant y\right)=\Phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^y \exp\{-\frac{t^2}{2}\}\mathrm dt
\]

       调和数的求和竟然与对数有关，有理数求和的极限竟然是个无理数，还有更“匪夷所思”的中心极限定理……
不试不知道一试吓一跳，都说数学是抽象的，但抽象的实验里也有惊奇的发现。如果说只有折射现象这种能够在日常生活中被感知的才算得上是真理的话，那只能说活在“二维世界”里。高深的数学理论是抽象的，一些事物冥冥中就有某种联系或规律；不是所有只能被人感知的才是真理，有些真理只是没被发现罢了，我是唯物论者，我为自己代言。
       至于方差前面系数为毛是1/(N-1)，讲法很多，依我的理解，其一，科学家是“保守的”，宁愿说方差偏大；一方面就如上面第三个公式所言。

看来我的数学还是很欠缺许多原理性的东西…

╰不滅信念 发表于 2015-5-6 16:49
你说的没错，通过数字的求解和运算本身就是一种实验。

谢谢你！虽然以我目前的水平，你给出的那个公式看不懂，但仍然谢谢你！你应该是个很优秀的学生吧~

丹阳赵 发表于 2015-5-11 15:00
谢谢你！虽然以我目前的水平，你给出的那个公式看不懂，但仍然谢谢你！你应该是个很优秀的学生吧~

过奖，二战考研中

╰不滅信念 发表于 2015-5-13 08:56
过奖，二战考研中

加油！

╰不滅信念 发表于 2015-5-6 16:49
你说的没错，通过数字的求解和运算本身就是一种实验。

感觉你说的很有道理。
但，你贴的那三个公式，我只能看到最右一点点的部分。。。。

\[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\]
\[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\]
\[\mathbb{E}(S^2)=\sigma^2\]
\[\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leqslant y\right)=\Phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^y \exp\{-\frac{t^2}{2}\}\mathrm dt\]