关于用显示有限差分法对欧式看涨期权进行定价的问题

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  我尝试对已有的显示有限差分法对欧式期权进行定价的matlab代码进行修改，但是运行出来的结果不对，请问是什么原因呢？  原有的代码为看跌期权，我想改为看涨期权。所以我仅对边界条件进行了修改：


  已有的看跌期权边界条件：
matval(:,N+1)=max(K-vetS,0);     % 在时间到期时的期权价格
matval(1,:)=K*exp(-r*dt*(N-vetj));    %在S=0时的期权价格
matval(M+1,:)=0;            %在S=Smax时的期权价格

  我修改的看涨期权边界条件：
matval(:,N+1)=max(vetS-K,0);    % 在时间到期时的期权价格
matval(1,:)=0;          %在S=0时的期权价格
matval(M+1,:)=(dS*M-K)*exp(-r*dt*(N-vetj));  在S=Smax时的期权价格



  我修改后计算出来的看涨期权价格为：-3.4383e+08  不知道为什么错的那么离谱。
  请各位大神帮忙看下，谢谢了！！

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关键词：有限差分法 有限差分 差分法 matlab代码 MATLAB matlab

显性方法会有instability，得到很奇怪的数不是很奇怪。你最好post一下完整的code。我们也不知道原有代码是什么。

Chemist_MZ 发表于 2015-7-14 08:31
显性方法会有instability，得到很奇怪的数不是很奇怪。你最好post一下完整的code。我们也不知道原有代码是什 ...

原有的代码为：
clear
S0 = 50;
K = 50;
r = 0.1;
T = 5/12;
sigma = 0.4;
Smax = 100;

dS=2;
dt=5/1200;
%建立网格，并且在必要时调整增量
M=round(Smax/dS);
dS=Smax/M;
N=round(T/dt);
dt=T/N;
matval=zeros(M+1,N+1);
vetS=linspace(0,Smax,M+1);
veti=0:M;
vetj=0:N;
%建立边界条件 （这个就是我修改的地方）   
matval(:,N+1)=max(K-vetS,0);
matval(1,:)=K*exp(-r*dt*(N-vetj));
matval(M+1,:)=0;
%建立三对角矩阵  
a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;
b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);
c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;
%求解方程
for j=N:-1:1
    for i=2:M
matval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+...
c(i)*matval(i+1,j+1);
    end
end  %返回价格，有可能在网格外线性插值生成
price=interp1(vetS,matval(:,1),S0)


谢谢！！

想当一个白馒头 发表于 2015-7-14 11:06
原有的代码为：
clear
S0 = 50;

是instability, 你把dt改小一点就好了比如dt=5/2400. 可能的原因是put有自然边界，0到 S-K而call没有，理论上可以到无限大，必须找一个有限的Smax。

Chemist_MZ 发表于 2015-7-14 11:38
是instability, 你把dt改小一点就好了比如dt=5/2400. 可能的原因是put有自然边界，0到 S-K而call没有，理 ...

按您的方法试过了，问题得到了解决！ 谢谢！！！

还有一个关于用crank_Nicolson差分方法对单边敲入障碍期权进行定价的问题可以请您帮忙看看吗？我已经编好了单边敲出的代码，但是在编单边敲入期权的时候遇到了问题，运行出的结果为NAN。

我查到文献说在对单边障碍期权定价的时候只需要在期权有效的S范围内格子。
例如：对于看涨向下敲出和向上敲入期权考虑的范围是一样的：（Sb，Smax）。唯一不同的是在Sb处的边界条件，即：向下敲出：f(Sb, t)=0； 向上敲入：f(Sb, t)=(Sb-K)*exp(-r*(T-t)) ，其中K为执行价。

请问我对向上敲入期权在Sb处的边界条件理解对了吗？整个代码如下：

%利用crank_N%利用crank_Nicolson差分方法对上升敲入期权进行定价

%初始化信息

clear
S0 = 145;
Sb=160;
K = 145;
r = 0.06;
T = 0.5;
sigma = 0.295;
Smax = 200;
otype=CALL;%期权类型
dS=2;
dT=5/10000;

%建立网格
M=round((Smax-Sb)/dS);
ds=(Smax-Sb)/M;
N=round(T/dT);
dt=T/N;
svec=linspace(Sb,Smax,M+1)';
tvec=linspace(0,T,N+1);
i=svec/ds;

%建立三角矩阵（系数矩阵）
sig2 = sigma*sigma;
alpha = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) - r*i );
beta = -dt*0.5*( sig2*(i.^2) + r );
gamma = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) + r*i );


%初始化矩阵
biprice=zeros(M+1,N+1);

%将三角矩阵赋值
M1=diag(-alpha(3:M),-1) + diag(1-beta(2:M)) + diag(-gamma(2:M-1),1);
M2=diag(alpha(3:M),-1) + diag(1+beta(2:M)) + diag(gamma(2:M-1),1);



%边界条件

biprice(:,end)=  max(svec-K,0); %到期时刻的期权价值
biprice(1,:) = (svec(1)-K)*exp(-r*tvec(end:-1:1)); %S=Sb时的期权价格
biprice(end,:) = (svec(end)-K )*exp(-r*tvec(end:-1:1)); %期权价格为Smax的时候
        

        

%计算矩阵
for q=N:-1:1
      biprice(2:end-1,q) = M1\(M2*biprice(2:end-1,q+1));%排除已知的边界条件的情况
   
end
oprice1=interp1(svec,biprice(:,1),S0)

谢谢！！！！

想当一个白馒头 发表于 2015-7-14 13:59
按您的方法试过了，问题得到了解决！ 谢谢！！！

还有一个关于用crank_Nicolson差分方法对单边敲入障碍 ...

你的边界条件没选对，对于up in 的call你的边界条件应该是

股价是零的时候为0:v(0,t)=0, 0<=t<=T
到期日的时候股价不为边界的时候是0：v(x,T)=0, 0<=x<U
任意时间边界处的值应该是对应到期日的BS vanilla call的值: v(U,t)=BSprice(U,K,T-t,r,volatility) 0<=t<=T, 因为一旦触及边界你相当于就得到了一个普通的call。

你之前的问题是你的网格的构建范围根本没有包括S0，这样你是不可能找到S0对应的option price的。所以当你用interp1来interpolate的时候, S0不在svec里面，而是在外面所以自然return NaN。

如果你觉得直接price up&in的call不够直观，你可你先price up&out call 然后用in and out parity来算up&in的call。

Chemist_MZ 发表于 2015-7-15 07:56
你的边界条件没选对，对于up in 的call你的边界条件应该是

股价是零的时候为0:v(0,t)=0, 0

谢谢您的答复，我想了很久，可是我还是有点不清楚的地方可以请您继续讲解下吗？
  
  1, 我按照您的意思做了如下修改：（其中B=Sb/ds，即障碍值所处位置）
         
   ①. 将网格范围改为（0,Smax）;
   ②. 将边界条件改为：
        biprice(1:B,end)=  0;      %到期时刻的S<Sb的期权价值=0
        biprice(B+1:end,end)=  max( svec(B+1:end)-K ,0);    %到期时刻S≥Sb,即期权敲入后的期权到期时的价值
        biprice(1,:) = 0; %S=0时的期权价格
        biprice(end,:) = (svec(end)-K )*exp(-r*tvec(end:-1:1));   %期权价格为Smax的时候
  
  运算出来终于不是NAN了，可是离正确答案还差一点距离，请问这样哪里错了呢？
修改后的代码为：
clear
S0 = 145;
Sb=160;
K = 145;
r = 0.06;
T = 0.5;
sigma = 0.295;
Smax = 200;
otype=CALL
dS=2;
dT=5/10000;

%建立网格
M=round(Smax/dS);
ds=(Smax)/M;
B=Sb/ds;
N=round(T/dT);
dt=T/N;
svec=linspace(0,Smax,M+1)';
tvec=linspace(0,T,N+1);
i=svec/ds;

%建立三角矩阵（系数矩阵）
sig2 = sigma*sigma;
alpha = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) - r*i );
beta = -dt*0.5*( sig2*(i.^2) + r );
gamma = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) + r*i );


%初始化矩阵
biprice=zeros(M+1,N+1);

%将三角矩阵赋值
M1=diag(-alpha(3:M),-1) + diag(1-beta(2:M)) + diag(-gamma(2:M-1),1);
M2=diag(alpha(3:M),-1) + diag(1+beta(2:M)) + diag(gamma(2:M-1),1);



%边界条件
biprice(1:B,end)=  0; %到期时刻的S<Sb的期权价值=0
biprice(B+1:end,end)=  max( svec(B+1:end)-K ,0); %到期时刻S≥Sb,即期权敲入时的期权价值
biprice(1,:) = 0; %S=Sb时的期权价格
biprice(end,:) = (svec(end)-K )*exp(-r*tvec(end:-1:1)); %期权价格为Smax的时候
        

%计算矩阵
for q=N:-1:1
      biprice(2:end-1,q) = M1\(M2*biprice(2:end-1,q+1));%排除已知的边界条件的情况
   
end

oprice1=interp1(svec,biprice(:,1),S0)




  2.还有一个问题：因为我当时看书的时候说向下敲出的范围也是（sb, smax），这样的话svec也没有包括s0，但是为什么这个算出来就是对的呢？ 是因为敲入和敲出有什么区别吗？
      
  因为我不是这个专业的学生，自己也是摸索着学习。可能问题比较繁琐哈~~ 麻烦了！！ 谢谢！！！

想当一个白馒头 发表于 2015-7-17 18:07
谢谢您的答复，我想了很久，可是我还是有点不清楚的地方可以请您继续讲解下吗？
  
  1, 我按照您的意 ...

1. clc;
   
2. clear;
   
3. S0 = 145;
   
4. Sb=160;
   
5. K = 145;
   
6. r = 0.06;
   
7. T = 0.5;
   
8. sigma = 0.295;
   
9. Smax = 160; %<-
   
10. otype='CALL';
    
11. dS=2;
    
12. dT=5/10000;
    
13. 
    
14. %建立网格
    
15. M=round(Smax/dS);
    
16. ds=(Smax)/M;
    
17. B=Sb/ds;
    
18. N=round(T/dT);
    
19. dt=T/N;
    
20. svec=linspace(0,Smax,M+1)';
    
21. tvec=linspace(0,T,N+1);
    
22. i=svec/ds;
    
23. 
    
24. %建立三角矩阵（系数矩阵）
    
25. sig2 = sigma*sigma;
    
26. alpha = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) - r*i );
    
27. beta = -dt*0.5*( sig2*(i.^2) + r );
    
28. gamma = 0.25*dt*( sig2*(i.^2) + r*i );
    
29. 
    
30. 
    
31. %初始化矩阵
    
32. biprice=nan(M+1,N+1);
    
33. 
    
34. %将三角矩阵赋值
    
35. M1=diag(-alpha(3:M),-1) + diag(1-beta(2:M)) + diag(-gamma(2:M-1),1);
    
36. M2=diag(alpha(3:M),-1) + diag(1+beta(2:M)) + diag(gamma(2:M-1),1);
    
37. 
    
38. a1=alpha(2);%<-
    
39. cM_1=gamma(end-1); %<-
    
40. 
    
41. 
    
42. %边界条件
    
43. biprice(1:end-1,end)=  0; %t=T,except barrier
    
44. biprice(1,:) = 0; %S=0时的期权价格
    
45. biprice(end,:)=  blsprice(svec(end),K,r,tvec(end:-1:1),sigma);  %option price at barrier  <-
    
46. 
    
47. %计算矩阵
    
48. for q=N:-1:1
    
49.    
    
50.       b1=zeros(M-1,1);%<-
    
51.       b2=zeros(M-1,1);%<-
    
52.       
    
53.       b1(1)=biprice(1,q+1)*a1;%<-
    
54.       b1(end)=biprice(end,q+1)*cM_1;%<-
    
55.       
    
56.       b2(1)=biprice(1,q)*a1;%<-
    
57.       b2(end)=biprice(end,q)*cM_1;%<-
    
58.       
    
59.       biprice(2:end-1,q) = M1\(M2*biprice(2:end-1,q+1)+b1+b2);%排除已知的边界条件的情况 %<-
    
60. end
    
61. 
    
62. oprice1=interp1(svec,biprice(:,1),S0)

复制代码

1. 我改得地方用<-标注了，两个问题
1) 你的CN方法的原始code就不对，在每一步rolling back的时候根本没有考虑boundary condition。你可能参考的书是Numerical methods in Finance a matlab based approch. 那本书里这里就是错的。
2) up and in 的call，S的范围应该选取在0-barrier, 你选了0-200。 并且在barrier地方的边界条件是Black Scholes price不是简单地payoff折现。（以为碰到之后就是一个普通的call option）
改了之后（其他参数不变）我得到的price是13.9640

2. price barrier option的时候肯定得假设你的option在之前没有被knock过。（sb, smax）向下know out的期权，当然初始股价在（sb, smax)范围里面，否则就已经被knock out了。你的初始股价一定在不被knock 的区间里。如果barrier一样，向下敲出和向下敲入是对应的，向上敲出和向上敲入也是对应的，但是上下之间没有对应关系，他们本来就是矛盾的，同一个barrier，同一个股价是不可能同时存在上下两种期权的，比如我是向上，那我一定在barrier下方，就无所谓向下之说。

Chemist_MZ 发表于 2015-7-18 07:44
1. 我改得地方用

谢谢大神！！！！问题已解决！！！

想当一个白馒头 发表于 2015-7-14 11:06
原有的代码为：
clear
S0 = 50;

大神，自由边界的期权问题代码怎么写啊？