Michael Atiyah：20世纪的数学[转]

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Michael Atiyah：20世纪的数学(转)

（原文链接内容，这里的中译文刊登于《数学译林》2002年第2期，译者白承铭。白承铭教授任职于南开大学陈省身数学所，当时他翻译这篇文章是陈省身先生的提议。电子版转载自豆瓣链接内容，特表感谢！作为 Hermann Weyl 当之无愧的继承人，Atiyah 正是 Freeman Dyson 眼中的飞鸟（见 Dyson 的演讲《青蛙与飞鸟》，让他引领我们一起鸟瞰20世纪的数学吧！）

谢谢邀请我来这里参加这个活动．当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错．然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议．

　　我在这里所讲的是我个人的观点．这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了.例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像 Hilbert，Gödel，Turing 这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述．每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲．另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习．所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情．

　　首先我有一个一般性的说明．世纪是一个大约的数字概念．我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节．我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中．实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累．

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这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了．难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的．实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景．

从局部到整体

　　作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论．我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变．在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物．在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质．由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了．正是 Poincaré，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert 并没有意识到这一点．拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对 Poincaré 而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容．

这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了．难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的．实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景．

从局部到整体

　　作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论．我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变．在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物．在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质．由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了．正是 Poincaré，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert 并没有意识到这一点．拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对 Poincaré 而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容．

　　让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是像 Weierstrass 这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于 Weierstrass 而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式．函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来 Abe1，Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．

　　一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．

在微分几何中，Gauss 和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．

　　

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数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架．数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时．这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论．

　　当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质．物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进．

维数的增加

　　我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加．我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼．推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内．不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一．

　　

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另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究 维流形的几何,大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变．在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西．而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们．认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物．同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数．所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题．

　　线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert 空间．当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函．它们是函数空间上的函数．它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论．一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中．这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪．这就是我谈的第二个主题．

从交换到非交换

　　第三个主题是从交换到非交换的转变．这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一．代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪．它有几个不同的起源．Hamilton 在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发．还有 Grassmann 在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中．当然，还有 Cayley 以线性代数为基础的矩阵方面的工作和 Galois 在群论方面的工作等．

　　所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”．我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论．Heisenberg 对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被 von Neumann 推广到他的算子代数理论中．

　　群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它．

从线性到非线性

　　我的下一个主题是从线性到非线性的转变．古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究．

　　我们从几何开始谈起：Euclid 几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到 Riemann 的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分．

　　当然，在物理学，Maxwell 方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应的是著名的 Yang-Mills 方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力．这些方程之所以是非线性的，是因为 Yang-Mills 方程本质上是 Maxwell 方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的．

感谢分享！

几何与代数

　　至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明．我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系．

　　

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让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id 几何是数学理论中最早的一个例子，直到 Descartes 在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Descartes 的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较 Newton 和 Leibniz 在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton 基本上是一个几何学家而 Leibniz 基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于 Newton 而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它．当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz 有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与 Newton 的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在 Newton 和 Leibniz 之间的这场大争论中，Leibniz 的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton 的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间．

　　在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincaré 和 Hilbert 是两个主要人物．我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是 Newton 和 Leibniz 的传人．Poincar 的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．而 Hilbert 更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统．

当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字——Arnold 与 Bourbaki，前者是 Newton-Poincaré 传统的继承人，而后者，我认为，是 Hilbert 最著名的接班人．Arnold 毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于 Newton 的；以为存在处于二者之间的东西，除了像 Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki 努力继续 Hilbert 的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和．

　　让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这时会说些什么呢？他会说“I see（我看到了，意即我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善．