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2 Economic and econometric models 12 3 Ordinary Least Squares 14 3.1 The classical linear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Estimation by least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Estimating the error variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Geometric interpretation of least squares estimation . . . . . . . . . . 17 3.4.1 In X Y Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4.2 In Observation Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4.3 Projection Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Influential observations and outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Goodness of fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7 Small sample properties of the least squares estimator . . . . . . . . . 25 3.7.1 Unbiasedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.7.2 Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7.3 Efficiency (Gauss-Markov theorem) . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Maximum likelihood estimation 28 4.1 The likelihood function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Consistency of MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 The score function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Asymptotic normality of MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 The information matrix equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 The Cramér-Rao lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Asymptotic properties of the least squares estimator 43 5.1 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Asymptotic normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Asymptotic efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6 Restrictions and hypothesis tests 47 6.1 Exact linear restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1.1 Imposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.1.2 Properties of the restricted estimator . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 6.2.1 t-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.2 F test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2.3 Wald-type tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2.4 Score-type tests (Rao tests, Lagrange multiplier tests) . . . . . 59 6.2.5 Likelihood ratio-type tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 The asymptotic equivalence of the LR, Wald and score tests . . . . . . 63 6.4 Interpretation of test statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.5 Confidence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.6 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.7 Testing nonlinear restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7 Generalized least squares 76 7.1 Effects of nonspherical disturbances on the OLS estimator . . . . . . 77 7.2 The GLS estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.3 Feasible GLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4 Heteroscedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.4.1 OLS with heteroscedastic consistent varcov estimation . . . . 84 7.4.2 Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.4.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.5 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.5.1 Causes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.5.2 AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.5.3 MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.4 Asymptotically valid inferences with autocorrelation of unknown form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.5.5 Testing for autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3 7.5.6 Lagged dependent variables and autocorrelation . . . . . . . . 105 8 Stochastic regressors 107 8.1 Case 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2 Case 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.3 Case 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.4 When are the assumptions reasonable? . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9 Data problems 114 9.1 Collinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.1.1 A brief aside on dummy variables . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.1.2 Back to collinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.1.3 Detection of collinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.1.4 Dealing with collinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.2 Measurement error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.2.1 Error of measurement of the dependent variable . . . . . . . . 123 9.2.2 Error of measurement of the regressors . . . . . . . . . . . . 124 9.3 Missing observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3.1 Missing observations on the dependent variable . . . . . . . . 126 9.3.2 The sample selection problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.3.3 Missing observations on the regressors . . . . . . . . . . . . 130 10 Functional form and nonnested tests 132 10.1 Flexible functional forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.1.1 The translog form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.1.2 FGLS estimation of a translog model . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Testing nonnested hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4 11 Exogeneity and simultaneity 149 11.1 Simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 11.2 Exogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.3 Reduced form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.4 IV estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.5 Identification by exclusion restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.5.1 Necessary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.5.2 Sufficient conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.6 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.7 Testing the overidentifying restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.8 System methods of estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.8.1 3SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.8.2 FIML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12 Limited dependent variables 195 12.1 Choice between two objects: the probit model . . . . . . . . . . . . . 195 12.2 Count data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.3 Duration data . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 The Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 13 Models for time series data 208 13.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 13.2 ARMA models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 13.2.1 MA(q) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.2 AR(p) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.3 Invertibility of MA(q) process . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5 14 Introduction to the second half 225 15 Notation and review 233 15.1 Notation for differentiation of vectors and matrices . . . . . . . . . . 233 15.2 Convergenge modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.3 Rates of convergence and asymptotic equality . . . . . . . . . . . . . 238 16 Asymptotic properties of extremum estimators 241 16.1 Extremum estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.2 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.3 Example: Consistency of Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . 247 16.4 Asymptotic Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 16.5 Example: Binary response models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 16.6 Example: Linearization of a nonlinear model . . . . . . . . . . . . . 257 17 Numeric optimization methods 261 17.1 Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 17.2 Derivative-based methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 17.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 17.2.2 Steepest descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 17.2.3 Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 17.3 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 18 Generalized method of moments (GMM) 270 18.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 18.2 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 18.3 Asymptotic normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 18.4 Choosing the weighting matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 6 18.5 Estimation of the variance-covariance matrix . . . . . . . . . . . . . 279 18.5.1 Newey-West covariance estimator . . . . . . . . . . . . . . . 281 18.6 Estimation using conditional moments . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 18.7 Estimation using dynamic moment conditions . . . . . . . . . . . . . 288 18.8 A specification test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 18.9 Other estimators interpreted as GMM estimators . . . . . . . . . . . . 291 18.9.1 OLS with heteroscedasticity of unknown form . . . . . . . . 291 18.9.2 Weighted Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 18.9.3 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 18.9.4 Nonlinear simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . . 296 18.9.5 Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 18.10Application: Nonlinear rational expectations . . . . . . . . . . . . . . 300 18.11Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 19 Quasi-ML 306 19.0.1 Consistent Estimation of Variance Components . . . . . . . . 309 20 Nonlinear least squares (NLS) 312 20.1 Introduction and definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 20.2 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 20.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 20.4 Asymptotic normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 20.5 Example: The Poisson model for count data . . . . . . . . . . . . . . 318 20.6 The Gauss-Newton algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 20.7 Application: Limited dependent variables and sample selection . . . . 322 20.7.1 Example: Labor Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7 21 Examples: demand for health care 326 21.1 The MEPS data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 21.2 Infinite mixture models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 21.3 Hurdle models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 21.4 Finite mixture models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 21.5 Comparing models using information criteria . . . . . . . . . . . . . 347 22 Nonparametric inference 348 22.1 Possible pitfalls of parametric inference: estimation . . . . . . . . . . 348 22.2 Possible pitfalls of parametric inference: hypothesis testing . . . . . . 352 22.3 The Fourier functional form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 22.3.1 Sobolev norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 22.3.2 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 22.3.3 The estimation space and the estimation subspace . . . . . . . 359 22.3.4 Denseness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 22.3.5 Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 22.3.6 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 22.3.7 Review of concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 22.3.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 22.4 Kernel regression estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 22.4.1 Estimation of the denominator . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 22.4.2 Estimation of the numerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 22.4.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 22.4.4 Choice of the window width: Cross-validation . . . . . . . . . 371 22.5 Kernel density estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 22.6 Semi-nonparametric maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . 372 8 23 Simulation-based estimation 378 23.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 23.1.1 Example: Multinomial and/or dynamic discrete response models378 23.1.2 Example: Marginalization of latent variables . . . . . . . . . 381 23.1.3 Estimation of models specified in terms of stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 23.2 Simulated maximum likelihood (SML) . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 23.2.1 Example: multinomial probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 23.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 23.3 Method of simulated moments (MSM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 23.3.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 23.3.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 23.4 Efficient method of moments (EMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 23.4.1 Optimal weighting matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 23.4.2 Asymptotic distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 23.4.3 Diagnotic testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 23.5 Application I: estimation of auction models . . . . . . . . . . . . . . 399 23.6 Application II: estimation of stochastic differential equations . . . . . 401 23.7 Application III: estimation of a multinomial probit panel
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