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雷达卡
本文在杨小凯消费者-生产者模型的基础上，通过引入劳动转换效率系数来对模型进行重新分析。这样不要求有a值大于1。
本文假定消费者-生产者集合是一个数量为M的连续统，这意味着，经济中的人口规模非常大，不会遇到可能会使分工均衡不存在的整数问题。为了分析的方便，假设只有两种产品，而且每个消费者-生产者的效用函数是对称效用函数。
每个消费者-生产者的模型设定如下：
MAX
u=（x+txd）（y+tyd） （1）
Subject to
x+xs=kv （2）
y+ys=β（v-k） （3）
v=1 （4）
xs+pyys=xd+pyyd （5）
上面的模型中：
（1）式是效用函数，其中，x和y分别表示每个消费者——生产者对两种产品的自给数量。xd和yd分别表示从市场购买的两种产品的数量。t是外生交易效率系数，或者1-t是冰山交易成本系数。
（2）式和（3）式是每个消费者-生产者的生产函数，其中， xs和ys分别表示两种产品的售卖数量。v表示每个消费者-生产者一段时间（或一天）不同时生产两种产品或这段时间内只生产任何一种产品所能生产出的这种产品的数量。β是外生劳动转换效率系数，或者1-β是劳动转换成本系数。
（4）式是禀赋约束
（5）式是预算约束，其中，假设xs和xd的价格为1，py是ys和yd的价格。该式左边是来自市场的收入，右边是2支出，由于允许角点解，所以有非负约束
x，xs，xd，y，ys，yd，k≥0
上面的模型中，k不独立于其他决策变量，所以6个决策变量x，xs，xd，y，ys，yd中的每一个都能取零和正值，所有可能的组合加起来共26=64个，而不是所有组合都是最优决策。这就要用库恩。塔克定理和最优决策的其他条件尽可能地排除一些组合，这个过程要证明文定理：最优决策不会卖一种以上的产品，不会同时卖和买同种产品，不会买和生产同种产品。
证明1：最优决策不会卖和买同种产品
用（5）式替代（2）式中的xs，用（4）式替代（2）式，并用（2）式消去（1）式中的x，得到
u=［k-（xd+pyyd ）/ pyys+txd］（y+tyd）
对xd求上式的导数，得到
U导数〈0，
根据库恩。塔克条件，当x，xs〉0时，xd的最优值是0。因此，xd和xs不能同时为正。采用同样的推导过程，可以证明，yd和ys不能同时为正。
证明2：最优决策不会同时买和生产同种产品
假设yd〉0，根据证明1，有ys=0，从预算约束中，可知，若ys=0，则xs〉0。这样，再次用证明1得到xd=0，若xs〉0。正效用要求x〉0。现将预算约束 和x及y的生产函数代入效用函数，得到
u=x｛y+t<(β-y-βx)/βpy｝
则u对y的导数=x<1-(t/βpy)>〈0，这意味着若yd大于0，则y的最优值是0。
证明3：一个人最多只卖一种产品
用反证法，假设此观点不成立，一个人同时卖两种产品，即xs，ys〉0，由证明1可知，xd=yd=0，这违反了预算约束。所以一个人同时卖两种产品是不可能的。
有了文定理，在64种可能的解中就排除到只剩下3种模式的3个角点解：自给自足模式；专业化模式（x/y）；专业化模式（y/x）。
下面分析这3种模式。
1.自给自足模式，此模式中，x，y，k〉0，xs=xd=ys=yd=0。模型如下：
MAX
ua=xy （1）
Subject to
x=kv （2）
y=β（v-k） （3）
v=1 （4）
将所有约束代入效用函数中，得到
u=kβ（1-k）
对k，求导数并令其等于0，然后求解k，得到k=1/2，而且二解导数小于0。所以k=1/2是最优解，那么此模式下的效用是
u=β/4
2.专业化模式（x/y）。这个模式是专业化生产x，卖掉x买y。此模式中，x，xs，yd〉0，k=1，xd=ys=y=1-k=0。模型如下：
MAX
u=xtyd （1）
S. t
x+xs=v （2）
v=1 （3）
xs=pyyd （4）
将所有约束代入效用函数，得到
u=（1-xs）t xs/py
u对xs求导数并令其等于0，然后求解xs，可得，xs=1/2，而且二阶导数小于0，所以xs=1/2是最优解，那么此模式下的效用是
u=t/4py
3.专业化模式（y/x）。这个模式是专业化生产y，卖掉y买x。此模式中，y，ys，xd〉0，1-k=1，yd=xs=x=k=0。模型如下：
MAX
u=ytxd （1）
S. t
y+ys=v （2）
v=1 （3）
pyys=xd （4）
将所有约束代入效用函数，得到
u=（1-ys）t pyys
u对ys求导数并令其等于0，然后求解ys，可得，ys=1/2，而且二阶导数小于0，所以ys=1/2是最优解，那么此模式下的效用是
u=tpy/4
每个消费者—生产者实践中会从上述三个模式中选择选择哪一个，需要进行三种模式的总效用大小的比较,即
当t/4py＞β/4时候，选择专业化模式（x/y）；
当tpy/4＞β/4时候，选择专业化模式（y/x）；
当t/4py＜β/4，而且tpy/4＜β/4时候，即t/β＜py＜β/t选择自给自足模式。
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