函数极值

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请问h（x，y）＝f（x）＋g（y），那么求max h（x，y）＝max f（x）＋max g（y）吗？为什么

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关键词：max

这是显然的吧。max()可以看作是一个运算符，对于变量a和b，max(a+b)=max(a)+max(b)。
如果一定要从函数的角度证明一下，由于h（x，y）＝f（x）＋g（y），于是h对x求偏导只剩f'=0，对y求偏导只剩g'=0，二元函数最大值的一阶条件都是只有f和g的一元函数，正好就是两个一元函数取最大值的一阶条件。

statax 发表于 2016-11-1 22:05
这是显然的吧。max()可以看作是一个运算符，对于变量a和b，max(a+b)=max(a)+max(b)。
如果一定要从函数的角 ...

嗯，谢谢回复

请提问者将问题进一步明确，max [f(x)+g(y)] 与 max f(x), max g(y) 中的max 对自变量 x,y 允许的范围各是什么？这个范围是否相同？若范围不同是否可看为同一个运算?

jiagangw 发表于 2016-11-2 16:06
请提问者将问题进一步明确，max [f(x)+g(y)] 与 max f(x), max g(y) 中的max 对自变量 x,y 允许的范围各是什 ...

定义域范围一样

statax 发表于 2016-11-1 22:05
这是显然的吧。max()可以看作是一个运算符，对于变量a和b，max(a+b)=max(a)+max(b)。
如果一定要从函数的角 ...

请考虑如下例子: 记 $D=\{(x,y):|x+y|\le 1,|x-y|\le 1\}$，则
\[ \max_{(x,y)\in D}(x+y)=1, \qquad \max_{(x,y)\in D}x+\max_{(x,y)\in D}y=2.\]

jiagangw 发表于 2016-11-3 09:32
请考虑如下例子: 记 $D=\{(x,y):|x+y|\le 1,|x-y|\le 1\}$，则
\[ \max_{(x,y)\in D}(x+y)=1, \qquad \m ...

是的，处理一些问题的时候，比较简单，当时自己就想这样拆开是否会有问题。当时犹豫了。谢谢老师！数学还是要严谨。

jiagangw 发表于 2016-11-4 16:14

老师，请问您这个A/B集合是两个点吗？

Nelsh--Deng 发表于 2016-11-4 22:54
老师，请问您这个A/B集合是两个点吗？

简单地说，A 就是使 f(x) 在 D 上取到最大值的自变量 x 的值(即最大点)的全体，所以若最大点存在且为唯一，A 就是单点集，若存在多个点 x 使 f(x) 达到最大值，则 A 就包含多个点，类似地对 B。$A\times B$  也有称为乘积集的，当A，B都是单点集时，$A\times B$ 才是单点集。