wilmot书中期权用隐含波动率对冲

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最近看wilmot数量金融中的delta对冲，再证明用隐含波动率对冲每一步的值是determinstic时，表达式中分别用了伊藤公式和feyman-kac定理，其中伊藤公式时的波动率是用的股票波动率，而fyman-kac定理中用的隐含波动率，从而推导出hedging error是而与两个方差的差有关的determinstic的值。直观理解确实伊藤公式中应该用股票波动率，因为伊藤公式使用的时候是从股票的几何布朗运动开始的。但是伊藤公式和feyman-kac定理理论上应该是一致的，感觉两个公式中都应该是用隐含波动率呀，否则二者得到的微分方程就会有差异的呢？不知道各位怎么理解这个问题的

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关键词：波动率 hedging delta对冲 股票波动率 Delta 表达式 error

这个很正常，他就是在推股票的波动率和隐含波动率不一样的情况下，你的hedging的利润，其实就是一系列的variance swap。也就是看你实际最后realized的和期权预期的差异。

他这个结果确实是方差互换的形式，但是我感觉推导过程中伊藤公式那块实际上也应该是隐含波动率，要不然直接从伊藤公式得到偏微分方程和feymankac得到的方程竟然不一致，而期权价值又都是隐含波动率计算的期权价值。

Chemist_MZ 发表于 2017-1-10 21:50
这个很正常，他就是在推股票的波动率和隐含波动率不一样的情况下，你的hedging的利润，其实就是一系列的var ...

并且从伊藤公式得到的方程中的希腊字母都是用隐含波动率计算的，只有二阶导数的系数只是realized volatility

沧海一线123 发表于 2017-1-11 08:34
他这个结果确实是方差互换的形式，但是我感觉推导过程中伊藤公式那块实际上也应该是隐含波动率，要不然直接 ...

Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即: gamma(sigma_i)*S^2*sigma_S^2*dt。所以用动态对冲是冲不出BS方程的，BS方程成立的条件就是股票和期权的波动率一样，heding error为0. 现在因为market交易的波动率和股票的波动率不一样，本质上就是一个标的存在两个波动率，这样就会有套利机会。如果两个波动率一样，根据BS模型的推导应该hedging error在整个路径上都是零。

Chemist_MZ 发表于 2017-1-11 09:32
Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即 ...

正如我最开始所说那样，用ito lemma来正向进行推导，二阶项的系数肯定是realized volatility，因为其是从股票的波动方程开始的。你指的“动态对冲是冲不出BS方程”是指theta(i)+r*delta(i)*S+gamma(i)*S*S*0.5*sigma(R)*sigma(R)是不等于rV(i)的吗？也就是说由对期权真实价值用ito公式后得到的漂移项不等于r*V(i)吗？式子中必须要全部用realized volatility或者implied volatility才能满足这个微分方程形式？

Chemist_MZ 发表于 2017-1-11 09:32
Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即 ...

也就是说只有
theta(i)+r*delta(i)*S+gamma(i)*S*S*0.5*sigma(i)*sigma(i)=rV(i)或者theta(R)+r*delta(R)*S+gamma(R)*S*S*0.5*sigma(R)*sigma(R)=rV(R)是满足的？

而且看他这个结果，用定值的realized volatility或者implied volatility比用时变的implied volatility来对冲好像感觉更好一些，因为至少定值的realized volatility对冲卖出期权的话结果是定值，而定值的implied volatility对冲只要保证implied volatility大于realized volatility，每次对冲的收益也为正。反倒是用时变的implied volatility来对冲过程和结果都有不确定性。

Chemist_MZ 发表于 2017-1-11 09:32
Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即 ...

而且看他这个证明，用定值的realized volatility或者implied volatility比用时变的implied volatility来对冲好像感觉更好一些，因为至少定值的realized volatility对冲卖出期权的话结果是定值，而定值的implied volatility对冲只要保证implied volatility大于realized volatility，每次对冲的收益也为正。反倒是用时变的implied volatility来对冲过程和结果都有不确定性。不知道实际中都用什么波动率来对冲？

沧海一线123 发表于 2017-1-11 11:22
而且看他这个证明，用定值的realized volatility或者implied volatility比用时变的implied volatility来 ...

我简单梳理一下，他里面说了三个case:
用actual volatility hedge，这时候profit就是long一个波动率是implied vol，short一个volatility是actual vol的option（或者反过来）
用implied volatility hedge，这时候profit就是variance swap
用任意volatility，这个时候profit就是前两者的综合

你选的vol不能太大也不能太小，因为两个部分的利润是此消彼长的关系。比如像你说的你可以用一个很大的volatility来hedge，这样即使是时变的volatility，你也可以保证你的variance swap in the money，但是这样就会使得你的第一个部分亏钱。反之亦然。

实际当中如果你是做对冲，用的是隐含波动率。如果你是做波动率的套利，那就用别的，任意的sigma_h都可以具体问题具体分析。