谁能够把概率这个最基本的概念讲清楚

爱萌 发表于 2009-8-23 15:24 其实我们在计算概率的时候用P(X<=x)来计算，这里怎么理解

（1）函数F: R→R，若满足F(-∞)≡limx→-∞F(x)=0，F(+∞)≡limx→+∞F(x)=1，且是非降的与右连续的，则称F是一个分布函数。

（2）分布函数F与随机变量X，若满足∀x∈R: P(X≤x)=F(x)，则称X服从F，记X~F。

（3）对于任意一个分布函数F，必存在一个概率空间及定义其上的随机变量X，满足X~F。

另，这个问题在30楼曾讨论过。

爱萌 发表于 2009-8-23 15:34 我们知道空集合就是没有元素,也就说不可能发生

这里首先的问题是：“事件”是用集合（并且是“可测集”）而非元素表示的。

空集，对应的是“不可能事件”。

概率（或者测度），是从事件域（诸可测集的集合）到实数集的映射。

爱萌 发表于 2009-8-23 15:34 而全集(样本空间)包含所有的元素,是必然发生

全集（样本空间），表示的是“必然事件”。

分布函数是密度函数的累计,我想用积分和求和(统称累计),
离散的好理解, 连续的实在有些难度,我想sungmoo师父(我拜你为师吧)能否更详细一些

爱萌 发表于 2009-8-23 15:43 分布函数是密度函数的累计

对于概率论，核心概念是概率空间{Ω, φ, P}，其中Ω是样本空间（一个非空集），φ是事件域（一个σ域），P是概率测度（一个规范化了的测度，即满足P(Ω)=1）。概率空间，是（一种特殊的）测度空间；而{Ω, φ}是可测空间。

设β是R上的Borel域（它亦是σ域），则{R, β}是可测空间。

给定概率空间{Ω, φ, P}与可测空间{R, β}，从Ω到R上的可测映射X，称作（定义在）{Ω, φ, P}上的随机变量。

根据Lebesgue分解，可以将随机变量分成离散的、连续的、奇异的三种类型。

对于连续型随机变量X，再由R-N定理可知：存在Lebesgue可测函数f，满足∀D∈β: Prob(f∈D)=P(D)=∫Dfdm，其中m是Lebesgue测度，f称作X的概率密度函数。


密度函数并不是首要的概念。

给定可测空间{X, φ}与{Y, ψ}，若映射f: X→Y满足∀D∈ψ: D的原像∈φ，则称f是从{X, φ}到{Y, ψ}的可测映射。

通俗一些说，即可测映射满足“可测集的原像仍是可测集”。

爱萌 发表于 2009-8-23 15:43 分布函数是密度函数的累计,我想用积分和求和(统称累计),离散的好理解, 连续的实在有些难度

对于离散型与奇异型随机变量，无所谓密度函数的概念。

但任何随机变量，都有自己的分布函数。

相应地，分布函数也可以分为离散的、连续的与奇异的三种类型。

随机变量被定义为可测映射，这保证了R中的任何Borel可测集都能对应一个概率测度（因为此时任何Borel可测集的原像都是事件）。而R中的Borel域是由R中的开集生成的，等价地，也可以由R中的π系{(-∞, x]|x∈R}生成。

Borel域的每个元素（注意它们都是R的子集）都对应一个事件，从而对应一个概率测度，构建这样的映射（即随机变量）已经“足够好用”了。

概率空间可能千奇百怪，特别是，样本空间未必是数集。直接操作概率空间很可能不方便，于是人们设计了随机变量，即让其成为从样本空间（及与之相关的事件域）到实数集（及其上的Borel域）的可测映射。

同时，有了可测映射，还可以实现更一般的积分运算。

爱萌 发表于 2009-8-23 15:43 分布函数是密度函数的累计,我想用积分和求和(统称累计),离散的好理解, 连续的实在有些难度

另外，能否把问题说得更详细一些？是不理解连续型随机变量吗？