求教在睡觉和消费中得到的效用函数为 U(s,c)=s0.25c0.75

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假定某人把一天的时间用来睡觉（s）、工作（w）和消费（c），在睡觉和消费中得到的效用函数为 U(s,c)=s0.25c0.75(注，后面的小数是指数，在这里无法表示，见谅），假定此人在消费是每小时花费6元，在工作时每小时可以赚4元，而且他消费时的收入来源于其工作所得。试问：（1）若此人想使效用最大化，应花多少时间来睡觉、工作和消费？（2）睡觉和消费的机会成本各是多少？

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关键词：效用函数 效用最大化 机会成本 是多少 最大化 求教 难题

max   U(s,c)=s^0.25*c^0.75
st:      (1)s+c+w=24
           (2)4w-6c>=0
这和给定要素成本，使道格拉斯生产函数最大化是一个问题。
机会成本，做一个比较静态分析吧，我认为应该用最优点效用的减少来表示机会成本

（1）W=24-C-S,约束条件为6C小于等于4W=4(24-C-S),
         在求该问题的效用最大化问题时，约束条件相当于6C=4(24-C-S),即10C+4S=96
         通过建立拉格朗日函数（或者用消费者均衡条件），效用最大化时满足条件：
    C/3S=4/10,10C+4S=96
        联立求解得：S=6,C=7.2,W=10.8

(2)睡觉的机会成本应该是4，消费的机会成本应该是10，从约束条件可以看出，或者从机会成本的定义理解，睡觉1小时放弃的是1小时的工作收入，消费1小时放弃的是1小时的工作收入和1小时的花费。
  不过这个我就没有100%的把握了

3# amyjiji780108
请教下
等式C/3S=4/10是怎么出来的，能详细说下吗？

[quote]qinqun 发表于 2009-12-5 22:08
假定某人把一天的时间用来睡觉（s）、工作（w）和消费（c），在睡觉和消费中得到的效用函数为 U(s,c)=s0.25c0.75(注，后面的小数是指数，在这里无法表示，见谅），假定此人在消费是每小时花费6元，在工作时每小时可以赚4元，而且他消费时的收入来源于其工作所得。试问：（1）若此人想使效用最大化，应花多少时间来睡觉、工作和消费？（2）睡觉和消费的机会成本各是多少？ [/quote]


我同意二楼的说法

MAX U(s,c)=s0.25c0.75

ST1 W+S+C=24,

ST2,4W=6C(因为在这道题里工作剩余金钱不消费状态不是效用最大化状态，他可以通过少工作，然后多花费，这样U会增大知道没有剩余的收入位置，否则就还有pareto 改进的余地。）

简历目标函数 用拉格朗日求极值，

L（W,C,S)=S^0.25C^0.75-a(W+C+S-24)-b（4W-6C）

求偏导
L's=0.25S^-0.75C^0.75-a=0
L'c=0.75S^0.25C^-0.25-a+6b=0
L'w=-a-4b=0
W+S+C=24
4W=6C

解得 W=10.8 C=7.2 S=6

本来解起来会很麻烦，出题人还是很善良的，比较好解。

第二问 Opportunity cost is the value of the next-best choice available to someone who has picked between several mutually exclusive choices. 这里的value不单纯的指的货币收入，只有货币收入能够代表所放弃的收益时货币才具备这个能力。 而这里货币没有效用。  所以我觉得准确的定义机会成本应该不是用钱来衡量的，应该是除了这个选择，能给你带来的最大效用的第二的选择。  这样你放弃了1小时的睡眠，你就要根据你的效用函数是这一小时的效用最大化（不可以用在睡觉上），那就是可以增加多少消费了 W+C=1,4W=6C, C=0.4 这样你的机会成本应该是放弃了0.4 小时的消费 如果你放弃了一小时的消费，你现在要将一小时的时间和6收入，效用最大化的分配，也就是最多能获得多少睡眠,因为就像之前解第一问一样，钱留是不符合效用函数的。 这样1+6/4=2.5小时的睡眠，就是放弃的一小时加上用6换来的睡眠。  我觉得机会成本用偏好的次序定义就跟准确了。 因为这样你放弃了这个选择就这你就会选择机会成本那个行为，也就是偏好第二大的那个选择。

假设所有工作赚的钱都用于消费。用拉格朗日乘数法。为了计算方便，可以先对效用函数取对数。
Ln (U)=0.25lns+0.75lnc.
Max(Ln(U))      s.t. s+c+w=24      6s=4w
构造拉格朗日函数：L(s,c,w,x1,x2)=Ln(U)-x1(s+c+w-24)-x2(6c-4w)
一次对s，c，w，x1,x2求导，导数为零求得s=6，w=10.8，c=7.2
机会成本先不说啦，要睡觉啦。

C/3S=4/10
是根据拉格朗日函数分别对C和S求一阶偏导等于0得出来的，或者直接把C和S看成两种商品，用边际替代率等于相对价格就行了，根据约束条件，相当与C的价格是10，S的价格是4，边际替代率就不用说怎么求了吧