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雷达卡
理解复数
这里还有一个细节要说：一个数字能既可以有“实部”又有“虚部”吗？
当然有。谁说旋转必须要旋转整个 90 度？如果我们在“实部”的维度和“虚部”的维度上各走一步，看来就是这样：
现在我们处于 45 度，在真实的部分和虚构的部分拥有相等的部分(1+i)。这就好像一个热狗同时有芥末酱和番茄酱——谁说你必须要选择了？
事实上，我们可以选择任意的实部和虚部的数字来组成一个三角形。这个角度就成为了“旋转的角度”。复数是一个有趣的名字，就是说一个数字有实部和虚部两个部分。它们被写作 a + bi，其中：
a 是实部
b 是虚部
这样还不错。但是有一个最后的问题：这个复数有多大呢？我们不能分开地计算实部和虚部的大小，这样就没有意义了。
让我们退回一点。一个负数的大小你也不能数出来——它是距离 0 的长度，在负数中：
这是另一种求绝对值的方式。但对于复数来说，当两个部分成 90 度时我们该如何去测量它的大小呢？
它是一只鸟，是一架飞机，它是毕达哥拉斯！
他的定理[译者注：勾股定理]出现在任何地方，甚至在他之后的 2000 年才发明了数字。我们制造了一种三角形，它的斜边就是距离 0 的长度：
非常棒！尽管测量它的大小不像“丢弃掉负数的符号”那么简单，复数依然有它们的用处。让我们看一下它的一个实例。
我们不必等到大学物理才去使用虚数，让我们今天就来使用它。关于复数的乘法有很多可说的，但把这个记在脑海里：
通过乘以一个复数来旋转它的角度
下面让我们一探究竟。假设我有一条船，向东 3 个单位，向北 4 个单位的方向航行。我想将我的航行方向逆时针偏转 45 度，那么我的新方向是多少？
一些高手会说“这很简单！使用 sine，cosine...blabla...使用 tangent... blabla.. 以及...”。崩溃。抱歉，我打断了你的计算了吗？可以再重新关注一下那个问题吗？
让我们用一个简单的方法：我们现在航行在 3 + 4i（不用管什么角度，不需要关心），然后我们想偏转 45 度。那好，45 度是 1 + i（完美的对角线）,这样我就可以乘以这个数量！
这里是思路：
初始的航行方向：向东 3 个单位，向北 4 个单位 = 3 + 4i；
逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i；
如果我们将它们相乘，可以得到：
所以新的航行方向是向西 1 个单位(即向东 -1 个单位)，向北 7 个单位，这样你就能画出来，并按照这个方向航行。
呀！我们在没有使用 sine 或 cosine 的情况下找到这个结果只花费了 10 秒钟。也没有用到向量、矩阵或者追踪我们所在的象限。它仅仅是一个使用了代数乘法的算术。旋转规则已经深深地嵌入了虚数中：这种规则是有效的。
更好的是，这个结果是有用的。我们航行在(-1, 7)而不是一个角度（arctan(7/-1)=98.13，记住我们在第二象限）。你计划画出或者跟随这个角度？在四周都用上量角器？
不行。你要把它转换为 cosine 和 sine (-.14 和 .99)，找到一个合理的比率（大约在 1 到 7 之间），然后描绘出这个三角形。而复数可以迅速、准确，且在没有计算器的情况下做这件事情。
如果你像我一样，你会发现这运用了思维拓展。如果你没有...额...恐怕数学并不适合你。对不起...
三角学很伟大，但是复数可以让丑陋的计算变得简单（比如计算 cosine(a+b))。这篇文章仅仅是个预览，后续的文章会给你全餐。
另外：一些人认为“Hey，用北/东指明航行方向来替代角度指明航行方向没有多大用处！”
不是吧？好吧。你看看你的右手。小手的中间到食指的尖端的角度是多少？自己算吧，祝你好运。
而用北/东航行法，你至少可以说：“横向距离 X 英寸，纵向距离 Y 英寸”，这样还有一些机会算出它的方向。
复数不“正常”
上面快速地过了一下我在复数上的基本观点。看看文章开头的第一个表格——现在应该能看懂了。
还有非常多美妙、好玩的数字，但是我的大脑已经很疲惫了。我的目的很简单：
让你相信复数虽然被视为“疯狂”，但是很有用（就像曾经的负数那样）；
展示了复数可以使某些问题变得简单，比如旋转。
如果我看起来对这个话题非常热心和关注，这里有个原因：我对虚数念念不忘很多年——对它缺少一种直观的见解，这让我很沮丧。
现在我终于有了这样的见解，我迫不及待地去分享它们。但如果你只是在一个狂热的人的博客上阅读了这篇文章，而不是在教室里，这会让我感到沮丧。我们束缚自己的疑问，缓缓前行——是因为我们没有去寻找、分享一些简洁、直观的见解。
但点亮一支蜡烛好过诅咒黑暗：这是我的想法，而且你们的其中之一也将会发出光亮。想想看，正是我们“解决”了像数字这样的问题才让我们能一直停留在罗马数字的大陆上。
后记：但是他们仍然很陌生!
我知道，复数对我来说，也依然很陌生。我试着把自己放到第一个发现 0 的人思维中。
0 是如此怪异的观点，有“0 个东西”却代表“没有东西”，罗马人避开了这个数字。复数也极其相似——它是一种新的思维方式。但是 0 和复数都让数学变得更加简单。如果我们从不采纳陌生的、新的数字系统，我们就只能靠手指数数了。
我重复了这个类比，是因为这样可以很轻易地去开始认为复数不“正常”。让我们打开思维：在未来，他们会为复数曾被不相信而轻声地笑：尽管都已经 21 世纪了。
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