100论坛币悬赏一个数字博弈问题

关于博弈的问题：
    有甲乙丙三人，生产同一种产品，
                                             甲单独生产效率为10，乙单独生产效率为12，丙单独生产效率为15
                                             甲乙合作生产效率为23，乙丙合作生产效率为28，  甲丙合作生产效率为29
                                             甲乙丙三人共同生产效率为45


       不管是单干、两人合作还是三人合作，甲乙丙三人各自要求刚好得到10单位该产品，不管是独自工作还是在合作生产中，任何一人如果按一定的产品分配比例得到自己的10单位产品后，马上退出生产。
      
        问合作时如何确定分配比例 ，才能让三人各自得到10单位产品所用的总生产时间最少？

   

         如果谁用字母把上面数字替换，得出表达式答案，提供论坛币800

设：将具体的数字表示为甲乙丙三人合作博弈的特征函数：v(1),v(2),v(3),v(12),v(13),v(23),v(123).——v(ij)表示i,j两人合作的单位生产数量。显然这个博弈是超可加的。现在每个人均想得到a个单位，问如何合作，如何分配合作所得使得总生产时间最短。
（1）：如果核心非空，即0.5[v(12)+v(13)+v(23)]>=v(123)
i：如果（v(123)/3，v(123)/3，v(123)/3）在核心内最好了，就是前一个帖子说的，1：1：1的比例生产3a个单位，然后平分；
ii：如果（v(123)/3，v(123)/3，v(123)/3）不在核心内，在核心内选择使得min[x,y,z]/max[x,y,z]最大的分配（x0, y0, z0）我们不妨设z0最大
三人合作生产a*(x0+y0+z0)/z0个，按比例(x0, y0, z0）分配，此时丙得到a个，退出。甲得到a*x0/z0,乙得到a*y0/z0
此时甲还需要a-a*x0/z0,记为b;乙还需要a-a*y0/z0,记为c 注意到2人合作博弈的核心总是非空的，如果（v(12)b/(b+c), v(12)c/(b+c)）在核心中，最好了。甲乙合作生产b+c个，按照比例b:c分配，结束；如果（v(12)b/(b+c), v(12)c/(b+c)）不在核心中，在核心中选择最接近比例b:c的分配——对于2人博弈，只需要考查
(v(1), v(12)-v(1))与(v(12)-v(2), v(2))这两个分配就可以了。不妨设是v(1)： v(12)-v(1)=b'：c与b:c比较接近。二人合作生产b'+c个(若b'<b)或b(b'+c)/b'个(若b'>b)，按照比例b'：c分配。此时甲(b'>b)或乙(b'<b)满足，剩余一人独自生产不足部分。
（2）：如果博弈没有核心。我们考虑两两合作的情形。用文字描述太困难。解释一下变了直接上方程。ti——i单干时间；tij——ij合作时间。因为核心空，所以无法实现三人合作。单干时无所谓比例，我们设x,y,z分别为在联盟12，13，23中第一个人分配的比例,对应的，第二个人的分配比例为1-x,1-y,1-z.我们有如下线性规划
min u=t1+t2+t3+t12+t13+t23
约束于
t1*v(1)+x*t12*v(12)+y*t13*v(13)=a
t2*v(2)+(1-x)*t12*v(12)+z*t23*v(23)=a
t3*v(3)+(1-y)*t13*v(13)+(1-z)*t23*v(23)=a
(x*v(12), (1-x)v(12))属于2人博弈的核心，即在(v(1), v(12)-v(1))与(v(12)-v(2), v(2))之间
(y*v(13), (1-y)v(13))同上
(z*v(23), (1-z)v(23))同上
所有变量>=0
完毕。
附注：其实聪明的你也可以想一想，即便3人博弈核心不空，也可以用第二种方法做。需要加一个约束条件；前三个约束条件也要增加一项。

自己顶一个

[dizzy][dizzy]
看样子论坛币送不出去了

总有人做的出来吧

博弈，既熟悉又陌生的词.初学者飘过~~~等答案。。。哈哈

这个合作博弈的核心非空，而且可以验证15，15，15这个分配在核心里面（没有联盟的价值会高出它得到的分配）。按1：1：1的比例分配，生产30个正好。一般的情况要复杂多了。我还没有想好。

呵呵，不错，结果是对的，我花了一整天的时间，才解决这个问题，
  怎么把钱送给你呀
   
  声明，由于自己已经找到和证明了这类一般问题的结论，超过此贴时间悬赏无效。

1# hblzy
谢谢，论坛币已经送出了，看样子，你是位合作博弈的高手，请问你的根据是Rodica Branzei · Dinko Dimitrov · Stef Tijs所著的 Models in Cooperative Game Theory中的结论吗，还是自己的？除了这本书还有没有别的资料可参考？
     我的结论是自己推导出来的，花了我近2整天的时间。搞出来了才发觉这本书上有介绍，那个后悔呀


      我的方法和你的大同小异， 先判断再定分配比例，直到圈子退化为一。
      最后对时间加总得到答案。


谢谢

不过我的判断方法和你说的不一样，我的是：
    i为总个体数目，ei为个体i单干效率，ei1,i2为个体i1，i2之间合作效率，(i1<=i,i2<=i).  ei1,i2,i3为三个个体之间的合作效率，以此类推直到ei1,i2......,ii全部合作的效率。
   
合作圈子大小的判定，必要条件：所有的eA + e(非A)>=ei1,i2.....ii,（j=1...i),A为全集的任意一个子集，再加上：
max[(ei1,i2...ii)/i .(ei1,...i(i-1))/(i-1),......(ei1,i2)/2, ei)]=ei1,i2...ii)/i 时，存在全员合作。否则，i退化为i-1,一直这样操作，直到出现满足这个不等式的情况，设退化m次，出现满足这个不等式，则最大的合作人数为i-m.

   分配方法和你是一样的，第一步判断，确定是平均分配还是非平均分配，若是非平均分配，再确定最大分配比例和首先出局的个体，退化后继续这样步骤,直至退化为1.