数学分析习题题练习四

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目录

西南交通大学2020数学分析试题----------------1#~2#
天津大学2020数学分析试题---------------------2#~3#
华南理工大学2020年数学分析考研试题---------2#
2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题一--4#~5#
2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二--5#~6#
中国科学技术大学2020年考研数分试题---------6#~7#
四川大学2020年数学分析考研试题-------------8#~9#
西南大学2020年数学分析考研真题---------------10#
北京邮电大学2020年考研数分试题-------------10#~12#
安徽大学2020年数学分析考研真题-------------12#~13#
华南理工大学2020年数学分析考研试题---------13#
曲面积分练习---------------------------------13#~15#
2020年北京大学数学分析考研试题解答---------14#
南昌大学2020年数学分析真题-------------------18#
东北师范大学2020年考研试题------------------18#~19#
北京大学2020年数学分析2期末试题------------19#
中国科学技术大学2020年数学分析A2试题----19#~20#
上海财经大学2020年数学分析考研试题-------20#~21#
中国矿业大学2020年数学分析考研试题-------21#~22#
安徽师范大学2020年601数学分析真题--------22#~23#
上海交通大学2020年数学分析考研试题-------24#~25#















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西南交通大学2020数学分析试题


解：
                $\because |x_n|\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}< \frac{1}{2},$

               又    $|x_n|\uparrow$，
            
             因此，$\{|x_n|\}$收敛。而显然有

                        $x_n\leq |x_n|$

                   所以，$\{x_n\}$收敛。

西南交通大学2020数学分析试题


解：1、是。
           
           因为，由条件即有

                  $\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 > 0,\forall x_1,x_2\in (0,1),\exists \delta > 0,0< |x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                   $|f(x_1)-f(x_2)|< \varepsilon_1 ,|g(x_1)-g(x_2)|< \varepsilon_2,$

             且$f(x),g(x)$有界。而此时，
                     \begin{align*}|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|&=|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_1)+f(x_2)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\\\\&\leq g(x_2)|f(x_1)-f(x_2)|+f(x_2)|g(x_1)-g(x_2)|\\\\&\leq g(x_1)\varepsilon_1 +f(x_2)\varepsilon_2 =\varepsilon .(\varepsilon =\max \{\varepsilon _1,\varepsilon _2\})
\end{align*}
           因此命题成立。
   
     2、不一定。如
                          $f(x)=x+1,g(x)=x.$
                而$f(x)g(x)=x^2+x$非一致连续。理由如下：


     3、是。
                 因为此时有
                              $|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\leq M|g(x_1)-g(x_2)|<M\varepsilon.$
                  



              

西南交通大学2020数学分析试题


解：
             \begin{align*}\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{1-\cos x}}&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{1}{1-\cos x}\ln(\frac{\sin x}{x}))\\\\&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{\sin x}\cdot \frac{x}{\sin x})\\\\&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{x(1-\frac{1}{2!}x^2+o(x^2))-x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)}{x^3})\\\\&=-\frac{1}{3}.
\end{align*}

西南交通大学2020数学分析试题


解
           分几种情况：
                    当$0< b<1$时，有

                          $\because 1=\sqrt[n]{1}\leq \sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}\leq \sqrt[n]{3}=1,(n\to +\infty)$

                          $\therefore \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=1.$

                   当$b=1$时，有

                             $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=\sqrt{2}.$

                   当$1< b\leq 2$时，则有

                               $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=b.$

                    当$1< b\leq 2$时，得

                               $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=\frac{b^2}{2}.$


总结得：$\displaystyle\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=\max \{a_1,a_2,\cdots a_n\}.$

西南交通大学2020数学分析试题


证明：
                 假设所给函数为周期函数，并设$T$为函数的最浊周期，则命题成立时有：
                     $f(x)=\sin^2x+\sin x^2=f(x+T)=\sin^2(x+T)+\sin(x+T)^2=\sin^2x+\sin(x^2+2Tx+T^2),$

                也即应该有

                     $f(x+T)-f(x)=0.$

                而
                      \begin{align*}f(x+T)-f(x)&=\sin(x+T)^2-\sin x^2\\\\&=2\cos\frac{(x+T)^2+x^2}{2}\sin\frac{(x+T)^2-x^2}{2}\\\\&=2\cos\frac{(x+T)^2+x^2}{2}\sin\frac{(2x+T)T}{2}\\\\&\neq 0.
\end{align*}

                所以，函数式为非周期函数。

西南交通大学2020数学分析试题

西南交通大学2020数学分析试题


这种类型的题，是多元函数可微，连续等的典型题，常考。用定义解即可。

西南交通大学2020数学分析试题


解：由变换知
                       $x=u^{-\frac{1}{3}}v^\frac{4}{3},y=u^\frac{1}{3}v^\frac{2}{3},$

                       $|J|=\frac{2}{3}(\frac{v}{u})^\frac{1}{3}.$
      
                       $\frac{b^2}{a}\leq u\leq \frac{(b+h)^2}{a+h},\sqrt{ab}\leq v\leq \sqrt{(a+h)(b+h)},$

            $S'$的面积为
                       $S'=\frac{2}{3}\int_{\sqrt{ab}}^{\sqrt{(a+h)(b+h)}}vdv\int_{b^2/a}^{(b+h)^2/a+h}\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}((a+h)(b+h)-ab)\ln(\frac{(b+h)^2}{a+h}\cdot \frac{a}{b^2}).$

            而变换闪后的面积之比的极限（$h\to 0$）为

                       $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{S'}{S}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}((a+h)(b+h)-ab)\ln(\frac{(b+h)^2}{a+h}\cdot \frac{a}{b^2})}{h^2}=\frac{1}{3}(a+b)(\frac{2}{b}-\frac{1}{a}).$

西南交通大学2020数学分析试题


证明：
           由已知，$f(x)$极限存在，所以有
                       $\forall x_1,x_2\in[a,+\infty),\forall \varepsilon_1,\varepsilon _2> 0,\exists K> 0,x_1,x_2> K,s.t.$

                        $|f(x_1)-A|< \varepsilon _1,|f(x_2)-A|< \varepsilon _2,$
              取
                        $\varepsilon =\max\{\varepsilon _1,\varepsilon _2\},$

                        $\forall x_1,x_2\in[a,+\infty),x_1,x_2> K,\exists \delta > 0,|x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                        $|f(x_1)-f(x_2)|=|f(x_1)-A+A-f(x_2)|\leq |f(x_1)-A|+|f(x_2)-A|< \varepsilon _1+\varepsilon _2< \varepsilon .$
         
              命题成立。