数学分析考研真题练习一

山东科技大学2018数学分析712

解：用Stoke’s公式。

      $P=3y,Q=-xz,R=yz^2.$

       $\begin{vmatrix}
dydz & dzdx &dxdy \\
\frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y}  &\frac{\partial }{\partial z} \\
P & Q & R
\end{vmatrix}=(z^2-x)dydz-0dzdx+(-z-3)dxdy.$

     $\begin{align*}I&=\oint_{\Gamma}=\iint_{\Sigma}(z^2-x)dydz-0dzdx+(-z-3)dxdy \\
&=\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}(-z-3)dxdy \\
&=-\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}5dxdy \\
&=-20\pi.\end{align*}$

山东科技大学2018数学分析712


解：利用高斯公式计算。添加三个面$X-0,Y=0,Z=0$，与$\Sigma $组成闭合曲面，方向向外。

       $\begin{align*}I&=\underset{\Sigma }{\iint} =\oint \int_{\Sigma +X_-+Y_-+Z_-} -\iint_{X_+} -\iint_{Y_+}-\iint_{Z_+}\\
&=\iiint_{\Omega }\left ( 3x^2+6y^2+9z^2 \right ) dV-0-0-0\\
&=18\iiint_{\Omega }x^2dV \\
&=18\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta d\theta \int_{0}^{\pi/2}\cos^2 \varphi d\varphi \int_{0}^{a}r^4dr\\
&=\frac{18a^5}{5}\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta d\theta \int_{0}^{\pi/2}\cos^2 \varphi d\varphi\\
&=\frac{18a^5}{5}\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{6}{5}\pi a^5.
\end{align*}$

     上面的计算利用了积分的对称性。

四川师范大学2018年数学分析-628

解：
                                          $ e^{-x^2}=1-x^2+\frac{1}{2}x^4+o(x^4).$
                                          $\sin^32x=(2x)^3.$$$\lim_{x\to 0}\frac{1-x^2-e^{-x^2}}{x\sin^32x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-x^2-1+x^2-\frac{1}{2}x^4}{x\cdot (2x)^3}=-\frac{1}{16}.$$

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解：
      $$\underset{y\to 0}{\lim_{x\to 0}}f(x,y)=\underset{y\to 0}{\lim_{x\to 0}}(x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x})=0M+0M =0.(\sin \alpha =M)$$$$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y)=\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}(x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x})=\lim_{x\to 0}x\cdot M=0.$$$$\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}(x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x})=\lim_{y\to 0}y\cdot M=0.$$

    其中，$-1\leq M\leq 1$.

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解：
     

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证明：
           $\exists \xi \in(a,b),s.t.$

           $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},(Lagrange)$

           $\begin{align*}\Rightarrow
f'(\xi)&=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\
&=(a^2+ab+b^2)\frac{f(b)-f(a)}{b^3-a^3}\\
&=(a^2+ab+b^2)\frac{f'(\eta )}{3\eta ^2},(\eta \in(a,b),Cauchy)
\end{align*}$


注，偶尔见到此题的一个一般推广形式，可用相同的方法解答：

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解：设
            $f(x,y)=e^{-x^2}\cos xy,$
     则有
             $f_y(x,y)=-xe^{-x^2}\sin xy,$

             $\Rightarrow |f_y(x,y)|=|-xe^{-x^2}\sin xy|\leq xe^{-x^2},(0\leq x< +\infty ,-\infty < y< +\infty )$
     而
            $\int_{0}^{+\infty }xe^{-x^2}dx< \infty .$

    因此，由Weierstrass判别法，下列积分

            $\int_{0}^{+\infty }f_y(x,y)dx=\int_{0}^{+\infty }-xe^{-x^2}\sin xydx.$

   在$-\infty < y< +\infty $上一致收敛。用积分号下求导定理，有

           $I'(y)=-\int_{0}^{+\infty }xe^{-x^2}\sin xydx=\frac{1}{2}e^{-x^2}\sin xy|_0^{+\infty }-\frac{1}{2}y\int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\cos xydx=-\frac{1}{2}yI(y).$

           $\therefore \frac{I'(y)}{I(y)}=-\frac{1}{2}y,\Rightarrow I(y)=\frac{1}{4}Ce^{-y^2}.$

           $\because I(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2},\Rightarrow C=2\sqrt{\pi}.$

           $\therefore I(y)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-y^2}.$

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证明：
         $\because \sum_{k=1}^{n}\sin kx=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\sum_{k=1}^{n}2\sin x\sin kx=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}).$

         $\therefore \left |\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\sum_{k=1}^{n}2\sin x\sin kx \right |\leq \frac{1}{\sin \frac{x}{2}},\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\sin kx\leq M.$(有界)

        又， $\frac{1}{n}\rightarrow 0,$

        由Dirichlet判别法，$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$收敛。

        另一方面，$\because \left |\frac{\sin nx}{n}  \right |\geq \left |\frac{\sin^2nx}{n}  \right |=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\cos nx),$

              而，$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}< \infty ,$

                     $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty .$

              $\therefore \left |\frac{\sin nx}{n}  \right |=\infty .$

             结论成立。

       注：这是一道非常典型的关于绝对收敛与条件收敛判断题，在很多教程中都能见到。

四川师范大学2018年数学分析-628

解：令$$S_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)x^k,$$$$\Rightarrow S_n-xS_n=\frac{2(x-x^n)}{1+x}-(n^2+3n)x^{n+1},$$$$\therefore S=\lim_{n \to \infty }S_n=\frac{2x}{1-x^2},(-1< x< 1)$$
       利用上述结果，当$x=\frac{1}{2}$时，得到：$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2^n}=\frac{2\cdot 1/2}{1-(1/2）^2}=\frac{4}{3}.$$

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此题比较简单。见上面类似题解。