数学分析考研真题练习一

上海交通大学2019年数学分析真题





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上海交通大学2019年数学分析真题





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桂林电子科技大学2018年硕士初试试题


证明：由已知有：
                         $x_n\geq 1,$

                          $x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}\leq 1+\frac{1+x_n}{1+x_n}=2.$

                          $\because x_{n+1}-x_n=1+\frac{x^2_n}{1+x_n}> 1> 0.$

                         $\therefore x_n\uparrow .$
               
            数列单调有界，故收敛。设：
                                                       $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n=l,$

                                 则：
                                           $l=1+\frac{l}{1+l}.$

                                       $\Rightarrow l=2.(l\neq 0)$

                                    

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

解：令
                   $x=\frac{1}{y},$
        代入原方程得：
                              $f(\frac{1}{y})+2f(y)=3y,$

        与原方程联立。解得：
                                $\Rightarrow f(x)=x-\frac{1}{x}.$

                                $\therefore f'(x)=1+\frac{1}{x^2}.$

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

证明：构造辅助函数：
                              $F(x)=\frac{1}{x}f(x),$

              由已知条件得：
                                 $\Rightarrow F(1)=f(1)=1$

                                 $\displaystyle F(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=f_+(0)=1.$

                                  $F'(x)=-\frac{1}{x^2}f(x)+\frac{1}{x}f'(x).$

                             $\therefore \exists \eta \in(0,1),s.t.F'(\eta )=0.(Rolle.DL)$

                            $\Rightarrow -\frac{1}{\eta ^2}f(\eta )+\frac{1}{\eta }f'(\eta )=0.$

                            $\therefore f'(\eta )=\frac{f(\eta )}{\eta }.$

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题


解：
            $\because F(x)=\int_{0}^{x}t^{n-1}f(x^n-t^n)dt\overset{u=x^n-t^n}{\rightarrow}\frac{-1}{n}\int_{0}^{x}f(x^n-t^n)d(x^n-t^n)=\frac{-1}{n}\int_{0}^{x}f(u)du.$

     当$n=1$时，有
             $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{-f(x)}{2x}=-\frac{1}{2}.$

      当$n>1$时，有
              $\displaystyle \therefore \lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{x^{2n}}=\lim_{x\to 0}\frac{F'(x)}{2n\cdot x^{2n-1}}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{n}f(x)}{2n\cdot x^{2n-1}}=-\frac{1}{2n^2\cdot (2n-1)}\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x^{2n-2}}=-\infty .$

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

解：
         $\int_{2}^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x)^k}=\frac{1}{1-k}(\ln x)^{1-k}|_2^{+\infty }=\begin{cases}
-\frac{(\ln2)^{1-k}}{1-k} &, k> 1 \\
+\infty &,k\leq 1
\end{cases}$

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

解：因为函数可能的极值点是偏导数为零的点，所以先求：

                               $\frac{\partial f}{\partial x}=2kx+2ky=0,$

                               $\frac{\partial f}{\partial y}=2kx+2y=0.$

                      解方程组得$k=1.$

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

解：
      $\iiint_Vxyz^2dV=\int_{0}^{1}ydy\int_{y}^{1}xdx\int_{0}^{xy}z^2dz=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}y^4dy\int_{y}^{1}x^4dx=\frac{1}{15}\int_{0}^{1}y^4(1-y^5)dy=\frac{1}{150}. $

桂林电子科技大学2018年硕士初试试题

解：令：
                 $a_n=\int_{0}^{\frac{1}{n}}\frac{\sin x}{1+x}dx,$

                 $\because \int_{0}^{\frac{1}{n}}\sin x< M,\frac{1}{1+x}\downarrow .$

                 $\therefore a_n< \infty .$
               
                 $a_n=\int_{0}^{\frac{1}{n}}\frac{\sin x}{1+x}dx=\frac{1}{1+\xi}\int_{0}^{\frac{1}{n}}\sin x.(\xi\in(0,\frac{1}{n}))$

                 $\rightarrow a_n\sim \frac{M}{1+\xi}.$

                 $n\to\infty ,\xi\to 0,a_n\to M\neq 0.$

            所以，级数发散。