数学分析考研真题练习一

桂林电子科技大学2017年811数学分析A

解：
                        $V=2\iiint_\Omega dV .$

                            $\Omega :0\leq z\leq \sqrt{4-x^2-y^2},$
                       
                            $\begin{cases}
x &=r\cos \theta  \\
y &=r\sin \theta  
\end{cases}$

                             $|J|=r,-\frac{\pi}{2}\leq \theta  \leq \frac{\pi}{2},0\leq r\leq 2.$

                          $\begin{align*}\therefore V&=2\iiint_\Omega dV\\\\&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{2}rdr\int_{0}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}dz\\\\&=2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{4-r^2}dr\\\\&=-\frac{2}{3}\pi\sqrt{(4-r^2)^3}|_0^2\\\\&=\frac{16}{3}\pi.
\end{align*}$

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题


1、解：
                          $\because 4^{\frac{n}{n}}< (2^n+3^n+4^4)^{\frac{1}{n}}< \sqrt[n]{3}4^{\frac{n}{n}}.$

                           $\therefore \displaystyle \lim_{n \to \infty }(2^n+3^n+4^4)^{\frac{1}{n}}=4.$
2、解：

                  $\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1-3x)}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}+3\cdot \lim_{x\to 0}\frac{f(1-3x)-f(1)}{-3x}\\\\&=f'(1)+3f'(1)=12.
\end{align*}$


3、解：
                  $\because (1+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})e^{x+y}=(y+x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})\cos(xy),$

                  $\therefore \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{y\cos(xy)-e^{x+y}}{e^{x+y}-x\cos(xy)}.$

4、解：
                 $\because F(x)=\int_{0}^{2x}xe^{t^2}dt,$

                 $\therefore F'(x)=\int_{0}^{2x}e^{t^2}dt+2xe^{4x^2}.$

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题


6、解：
                    $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\rightarrow a=2.$

7、解：
                    $\int_{0}^{4}dy\int_{-\sqrt{4-y}}^{\frac{1}{2}(y-4)}f(x,y)dx.$

8、解：
                    $\oint\int_\Sigma (2-x^2-y^2-z^2)dS=\iint_S \sqrt{\frac{1}{1-x^2-y^2}}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{-1}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr=0. $

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题

（第3小题与前面有类同，略）

1、解：
                   $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x(1-\cos\frac{1}{x^2})}{\sqrt{x^2+1}-x}=\lim_{x\to \infty}\frac{(1-\cos\frac{1}{x^2})}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{\frac{1}{2}x^2}=0.$


2、解：
                     $(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x})\cos(u+v)=y,$

                     $(v\frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial v}{\partial x})e^{uv}=-1.$
              解之得

                     $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{yue^{uv}+\cos(u+v)}{ue^{uv}-v\cos(u+v)}.$
                    

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题


4、解：
           $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n+1}x^n=x\lim_{n \to \infty }\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}x^{k+1}=\lim_{n \to \infty }\frac{x(x-x^{n+1})}{1+x}=\frac{x^2}{1+x},(-1\leq x< 1)$

5、解：
            $V=\iiint_\Omega z^2dV=\iint_S((x^2+y^2)-(x^2+y^2)^2)dxdy,$

             $\begin{cases}
x&=r\cos \theta,  \\
y&=r\sin \theta,
\end{cases} $

             $|J|=r.0\leq r\leq 1,0\leq \theta\leq 2\pi.$

              $\therefore V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r(r^2-r^4)dr=\frac{\pi}{6}.$

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解：
                   $\begin{align*}
g'(0)&=\lim_{x\to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}\\\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{f(x)}{x}-f'(0)}{x}\\\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-xf'(0)}{x^2}\\\\
&=\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x}\\\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}f''(x)\\\\
&=\frac{1}{2}f''(0).
\end{align*}$

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题


解：
                 $\because |(-1)^n\frac{\sin^2 x+n}{n^2}|\leq \frac{1+n}{n^2}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

        所以，由狄利赫来判别法，级数一致收敛。

                  $\because (-1)^n\frac{\sin^2 x+n}{n^2}\leq (-1)^n\frac{1+n}{n^2}$

        而后一级数收敛，故原级数也收敛。又：

                                      $\because |(-1)^n\frac{\sin^2 x+n}{n^2}|\geq \frac{1}{n}$

                  发散。

                所以，原级数条件收敛。

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题

解：添加平面$z=0$，方向向下，使积分区域$\Sigma+z=0$成一闭合曲面，利用高斯公式计算。

              $\iint_\Sigma +\iint_{z=0}-\iint_{z=0}=\iiint_\Omega (2x+2y+1-2x-2y)dxdydz-0=\frac{2}{3}\pi.$

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题

证明：
                  由已知：
                        $\forall x_0\in(0,+\infty ),$
        
                        $f(x_0)=f(3x_0)=f(3^2x_0)=\cdots =f(3^nx_0),$

                       $\because \lim\limits_{x\to\infty }f(x)=5,$

                由海涅定理，有：
  
                             $\lim\limits_{n\to\infty }f(3^nx_0)=5,$        

                            $\therefore f(x_0)=\lim\limits_{n \to \infty }f(x_0)=\lim\limits_{n\to\infty }f(3^nx_0)=5,$

              由$x_0$的任意性，可得

                                        $f(x)=5.$


          注：此类题中数字$3$可为大于1的任意实数$a$.

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题


证明：  令：
                   $F(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y),$

           多元函数可能的极值点，满足下列方程组：

                           $\begin{cases}
F'_x(x,y)&=f'_x(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0,  \\
F'_y(x,y)&=f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0,  \\
F'_\lambda (x,y)&=\varphi(x,y)=0,   
\end{cases}$

               所以，当存在极值点$(x_0,y_0)$时，一定也满足上列方程组。故有：

                                   $f'_x(x_0,y_0)\neq 0,\Rightarrow \lambda \neq 0,\varphi'_x(x_0,y_0)\neq 0,$

                                   $\lambda \neq 0,\varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0,\Rightarrow f'_y(x_0,y_0)\neq 0.$