数学分析考研真题练习一

杭州电子科技大学2018年数学分析自命题
（第2小题有雷同，略）


证明：由已知，$f_n(x)$连续，有：
                                                     $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,|x_n-x_0|< \delta ,s.t.$

                                                      $｜f_n(x_n)-f_n(x_0)｜< \frac{\varepsilon }{2},$

                    又因为$f_n(x)$一致收敛于$f(x)$,故有：
   
                                                       $\forall \varepsilon > 0,\exists N> 0,n> N,s.t.$

                                                       $|f_n(x_0)-f(x_0)|< \frac{\varepsilon }{2}.$

                      当满足上述两个条件时，有：

                                                $|f_n(x_n)-f(x_0)|\leq |f_n(x_n)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon .$

                       命题得证。

西南大学2008年数学分析试题


1、$\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}.$

2、$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{x_n}{x_{n+1}}=\lim_{n \to \infty }\frac{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n} }{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}}=\lim_{n \to \infty }\frac{ 1-(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n} }{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-\frac{1-\sqrt{5}}{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

西南大学2008年数学分析试题


(3)、由定义，得
                          $f(x)=\begin{cases}
0&,x> 1 \\
0&,x< -1 \\
ax^2+bx&,-1<x<1\\
\frac{1+a+b}{2}&,x=1\\
\frac{-1+a-b}{2}&,x=-1
\end{cases}$
           因为函数连续，所以有：
                                              $\displaystyle \lim_{x\to 1}(ax^2+bx)=\frac{1+a+b}{2},\Rightarrow a+b=1,$

                                               $\displaystyle \lim_{x\to -1}(ax^2+bx)=\frac{-1+a-b}{2},\Rightarrow a-b=-1,$

              解之，得
                                    $\therefore a=0,b=1.$

(4)、$y'=\frac{\ln x+1}{\ln y+1}.$


(5)、

西南大学2008年数学分析试题


（1）、$B.$

（2）、$B.$

西南大学2008年数学分析试题



（3）、$B.$

（4）、$B.$（猜的）

西南大学2008年数学分析试题


此题应该是错题吧？

西南大学2008年数学分析试题



解：（1）、由已知得：
                      $S_1=\iint_{\sigma_1}dxdy=\int_{a}^{0}dx\int_{x^2}^{ax}dy=\int_{a}^{0}(ax-x^2)dx=-\frac{1}{6}a^3.$

                       $S_2=\iint_{\sigma_2}dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{ax}^{x^2}dy=\int_{0}^{1}(x^2-ax)dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}a.$

                      $S=S_1+S_2=-\frac{1}{6}a^3+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}a,$
                 令：
                        $S'=-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a=0,\Rightarrow a=-1.$

                       $S_{min}=1.$

         （2）、
                       $V=\pi\int_{-1}^{0}(x^2-x^4)dx+\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^4)dx=2\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^4)dx=\frac{4}{15}\pi.$

西南大学2008年数学分析试题


证明：
                         $\because f(1)=2\int_{0}^{1/2}xf(x)dx,$

              由积分中值定理，有
                              
                           $\exists \eta \in(0,1/2),s.t.f(1)=2\cdot \frac{1}{2}\eta f(\eta )=\eta f(\eta ),$
                   令：
                           $F(x)=xf(x),$

                      因为有：
                             $F(1)=F(\eta )=\eta f(\eta ),$

               所以由Rolle定理，得

                            $\exists \xi \in(\eta ,1)\subset (0,1),s.t.F'(\xi)=\xi f'(\xi)+f(\xi)=0.$

西南大学2008年数学分析试题


解：
                    $\because \int_{0}^{1}\varphi(tx)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}\varphi(tx)d(tx)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\varphi(u)du=a\varphi(x),$

                     $\therefore \int_{0}^{x}\varphi(u)du=ax\varphi(x).$

              对$x$求导：

                      $\varphi(x)=a\varphi(x)+ax\varphi'(x).$

                      $\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}=\frac{1-a}{ax},$

             对$x$求积，有：

                      $\Rightarrow \ln\varphi(x)=\frac{1-a}{a}\ln x,$

                       $\therefore \varphi(x)=e^C\cdot x^\frac{1-a}{a}=Cx^\frac{1-a}{a}.$

             其中，C为任意常数。

西南大学2008年数学分析试题


解：（1）、因为当$p> 0$时，\{\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\}为交错级数，收敛。而级数

                         $ \{-\frac{1}{2}\frac{1}{n^{2p}}\}$在$0< p\leq \frac{1}{2}$,发散；在$p> \frac{1}{2}$时，收敛。

                   因此，级数$\{a_n\}$在$p> \frac{1}{2}$时，收敛。

                 又，

                       $\because |a_n|=|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}-\frac{1}{2}\frac{1}{n^{2p}}+o(\frac{1}{n^{2p}})|> \frac{1}{n^p}-\frac{1}{2n^{2p}}+o(\frac{1}{n^{2p}})\sim \frac{1}{n^p}.$

                  故，当$0< p\leq \frac{1}{2}$时，原级数发散；

                        当$\frac{1}{2}< p\leq 1$时，原级数条件收敛；

                        当$p> 1$时，原级数绝对收敛。

        （2）、
                              $\because \ln(1+\frac{(-1)^{n-1}}{n^p})\sim \frac{(-1)^{n-1}}{n^p},$

                    所以，当$0\leq p\leq 1$时，级数条件收敛；

                             当$p>1$时，级数绝对收敛；