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楼主: tom_lv1
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[股票] 怎样看待和应用股票收益率的正态分布 [推广有奖]

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tom_lv1 发表于 2019-5-16 15:35:09 |显示全部楼层 |坛友微信交流群

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           怎样看待和应用股票收益率的正态分布

                      于德浩

                    2019.5.16

先说说正态分布的来历。人们在测量物体时,总会有误差,也就是这次的观测值与下一次不是严格相等的。但是,人们发现所有的这些观测值都是对于平均值是大体对称的,并且偏差越大的事例数目越少。那么有没有一个数学函数可以描述这样的现象呢?于是,高斯等数学家就找到了这么一个数学分布函数,因为高斯比较有名或者对此贡献很大,于是就命名为高斯分布。而这种分布在自然界是广泛存在的,是一种先验假设性质的,是大多数的正常状态下应该有的分布,于是就简称正态分布。

测量误差,这肯定是高斯分布。应该说,正态分布实际是测量误差的一种推广。我们估计人的身高分布,或体重分布,一般也是先假设为正态分布。后来,人们实际抽样调查一下,发现确实是正态分布。

很多情形下,人们是事先“心中有数”的。人们是大体知道,某件事发生的概率大致情形。比方说,掷硬币猜正反面。人们不做任何试验,就知道,出现正面的概率应该是50%。这个先验概率太明显了,一般人也不会去做试验去验证,是不是正面的概率就真的是1/2。历史上,真有人,至少是三个比较有名的数学家做过这个“没必要”的试验,发现确实是正面50%的概率。比方说,他就是傻乎乎的抛硬币2000次,发现980次为正面,1020次为反面。

关于股票收益率,一开始人们并不知道,这是不是一个高斯分布。只是知道,股价每天涨跌是随机的,有时大,有时小,有时正,有时负,几乎没有任何规律可言。想想也是啊,股价涨跌要是有规律,而且还容易掌握,那不有人轻松就成百万富翁了吗?

到1900年,有人就发表论文,提出这么一个猜想,股票收益率的随机分布应该是正态分布,股价的波动就是布朗运动。没人提,不知道;有人提,那感觉就是英雄所见略同啊。可不是嘛,股价波动既然是随机的,而正态分布又是随机分布中最常见的,那当然得先猜正态分布了。

大约到1960年,计算机信息技术发达了,有人就发表论文,做了实证研究。他统计了道琼斯工业指数1915-1945年的每月收益率,发现这480个数据点,是一个正态分布形状。这个工作,说大很大,就是证实了股价波动是高斯分布。但是,说小也很小,他只是做了一个类似“抛硬币2000次”的没必要的试验,因为大家都知道本该如此。

假设我们得知,股票的年均收益率是+10%,年波动率是30%,分布是高斯分布。我们怎么应用这个实证结果呢?

初步应用,就是没啥用。因为一年的收益率大约是-20%到+40%,是很有可能亏本的。所以,大部分人,风险厌恶者的结论就是“股票不能买,有一年亏损20%的风险。”

进一步看,“买股票,可能会有亏损”这个认识是没错的。但是,随着时间的延长,那么亏损的风险就会逐步减小。时间如果足够长,那么最后的收益,就是每年的期望值之和,与每年波动率无关,这就是大数定律嘛。这里的应用就是超长期持股投资,买入股票拿10年、20年,赚取年均+10%,让波动相互抵消。具体的现实应用,就是指数化投资,被动跟随市场。

再精细的看。n年的收益率期望值是n*0.1,标准差是n^0.5*0.3,那么在-1X处的最大亏损就是0.1*n-0.3*n^0.5。当n=9年时,就可以保本了,亏损是0。当n=10年时,平均盈利是0.1*10=100%;最大盈利就是+1X处,0.1*10+0.3*3.16=190%。就是说,如果你想不亏钱,那么持股时间至少得9年;如果持股10年,平均能翻一倍,最高能翻2倍。

有些人,他不懂金融学,也可以不懂股票,但是他知道常识,生活阅历丰富。他买股票的原则很简单,“我10块钱买入,等翻一倍到20块钱,我就卖出;然后,等股价再跌到10块,我再买回。如此反复。”他这么做是很有道理的。因为,十年的平均收益是翻一倍,如果中途3年就翻一倍卖出,这就已经达标了。股价在9年内,都有亏本的可能;也就是随后的6年里,股价是可以到达10元的初始价格的。在新兴市场,股价涨跌幅度大,这种大老粗的“低买高卖”是很有效的,也正是他们的表面经验所得。

而在成熟市场,股价涨跌不大,一般都是慢牛爬升的状态,所以巴菲特等投资大师的经验和忠告就是,买入并长期持有,可以持有无限期。就是说,在成熟市场,3年翻倍是几乎不可能出现的;而如果你在第8年的20元卖出,妄想股价再跌回10元,那是机会渺茫的。

事实上,股价波动并不是严格意义上的高斯分布,局部具有明显的时序性。我先说什么是好的高斯分布数据。比方说,“好的”一组数据1000个,我总体统计,期望值是+0.1,标准差是0.3。如果,我们分隔成10段数据,每一段100个,每一个样本的期望值都还是+0.1,标准差还是0.3,还是大体对称的高斯分布。

而股价波动数据,不是“好的”高斯分布数据。总体1000个数据,期望值是+0.1,标准差是0.3。但是,如果取出其中的牛市连续一段100个数据,期望值变成+0.5、标准差是0.7的另外的高斯分布。而如果取出熊市的连续一段100个数据,期望值就变成-0.4,标准差是0.6的别的高斯分布。

在局部数据强关联的情形下,一般的均值回归就是失效的。比方说,股价的总体每天收益率平均是0%。如果是在震荡市,这个局部恰好也是0%,这时的0%均值回归就是刚好有效的。而当进入牛市时,局部期望值已经变成每天+0.3%,你要是再进行原来总体样本的0%回归,就大错特错了。

当然,在大部分情形下都是慢牛、慢熊、震荡行情,这里的0%均值回归基本是有效的,这也是量化投资可以大部分时间都能做的原因,每天似乎都有正收益。可是,总有20%的时间是快牛或快熊,一旦进入这个阶段,量化投资就开始大亏钱。也就是,十年中,8年的量化投资都在小赚,但一两年的牛市或熊市大亏,就抹平了全部收益。

一个所谓的量化投资高手,可以在三五年内显得很厉害,指数上涨10%或下跌10%,他似乎不论牛熊都能斩获每年30%以上的正收益。可是,路遥知马力,很少有超过十年以上的量化高手还存在。一个黑天鹅事件或一波大的暴涨暴跌,一下子就可以把他打趴下。这个量化投资高手还往往以为是自己运气不好,不认为是量化投资本身存在巨大缺陷。

想不判断牛市或熊市的大方向,而去赚波动的钱,这是不可能的。实际上,量化投资者的表面不判断,就是已经做出了判断,“股市永远都是不大涨也不大跌”。量化投资在成熟市场还是可以做的,因为慢牛的每天收益率是0.05%甚至更低,这与先验假设0%相差无几。


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关键词:股票收益率 正态分布 股票收益 收益率 英雄所见略同

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