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独立同分布的和与同一分布的一组完备事例
于德浩
2019.6.6
同一分布产生的一组事例，每个事例都是假设相互独立的。所以说，就每一个观测事例来言，它对应着一个分布的一个产生事例。也就是说，同一分布的一组20个事例，每个事例的观测值虽不同，但都对应着20个“全同粒子”分布，每个分布都有相同的期望值和标准差。
是“同一粒子”的20种不同表现，还是20个“全同粒子”的各一次表现，应该无法区分。这两种观点的殊途同归，在于“完备集”与大数定律。
研究一组20个简单数据。{ -3，-3，-3；-0.5，-0.5，-0.5，-0.5，-0.5，-0.5，-0.5；0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5； 3,3,3,；}。我们一般统计就是，求出平均值是0，作为期望值；求出方差，(3*3^2+2*7*0.5^2+3*3^2)/20=57.5/20；再开根号得出标准差=1.70。实际上，我们已经默认，这是同一分布产生的一组20个事例，而且是完备集。
如果我们认为第一个事例是一个“期望值为0，标准差是1.70的随机分布”的一个观测值，那么这就是一个-1.76X处的事例；第二个事例，是另外一个分布的-1.76X处的事例。这两个观测值相等，并且偏离期望值很远，只是巧合而已。
但是，如果我们进行限制，“两个独立同分布之和的期望值是2mu，标准差是2^0.5*sigma”。 当第一个事例是-3时，第二个事例应该是大约+3，来逼近总期望值0才行。而实际观测值是-3，则表明是一个-3/(2^0.5*1.70)=-1.25X处的事例。
当累计事例数目足够多时，n=20，独立同分布的和就是最后的期望值之和0，这就是大数定律，这也是同一分布的事例完备集的结果。
对于n个事例之和的约束，如果限定在正负一个标准差内，实际是n*mu+n^0.5*X，这要比“完备集”约束宽松的多。也就是说，如果是完备集，必须遵从大数定律，那么末态，必然是总和为0。 而独立同分布之和的约束，即使最后总和是-7.6，也是-1X事例，还算是正常。
也就是说，“分布之和”对相邻事例约束很强，对长程总和约束较弱。而“分布完备集”对相近事例没有约束，但长程约束很强。
对于股价波动的分布，一般统计是高斯分布。但是，股价涨跌趋势，则使得数据有很强的时序性，这应该不只是巧合。也就是说，股价走势，除了要受到涨跌幅的高斯分布限制以外，还要受到股价分布的限制。不过，股价分布可不好猜测。
比方说，股价涨跌幅的分布，是期望值为0%，标准差是1.70%的高斯分布完备集，不同的时序组合就对应不同的股价走势。
第一种就是上文的简单举例。股价先大跌3天，再慢跌7天，最大跌幅达到-12.5%；随后慢慢小幅反弹3.5%，最后3天突然大涨9%；最终收盘月涨幅0%。这就基本上是一个负指数分布，股价低的地方概率密度最大，最底部的1/4处大约占比63%。而起始位置是最高价，位于股价分布的+4X处。
第二种就是第一种的对称，时序刚好相反。股价先大涨，后大跌，最后月收盘不涨不跌。只不过起始位置，是股价最低点，也在逆向轴的+4X处。
第三种可能路径，就是股价先大跌3天，然后14天不涨不跌，最后3天再突然大幅反弹到0%处。这也是一种指数分布，只不过底部抬高了3.5%而已。同理也有相反相对称的路径。
还有一种路径，就是窄幅震荡。股价缓跌7天，然后突然反弹+3%，立即再下跌3%；再慢慢反弹4天，突然再下跌3%，立即反弹3%回来；再慢涨3天，突然下跌3%，最后一天反弹3%，最后月收盘还是0%。这对应的股价分布就是在[-4.5%,0]的均匀分布，起始点是股价最高点。
也就是说，即使我们知道了股价波动的高斯分布，还有几种我们不知道的股价具体路径；当然按照完备性，最后总是0%的收盘涨幅。
在不预估股价分布的情形下，单凭波动分布，是很难获利的。比方说，股价第一天大跌3%，就算我们知道20天后回归期望值0，而若是第一种路径，我们还得忍受19天的煎熬。这几条可能的路径，应该是平权的，无法押赌某一条。
不过，我们可以判断局部的最低点不会太低，不会跌幅超过-12.5%。局部抄底，可以定在20天分布之和的-1X处，因为月度收盘最差就是这个价。所以，当月内股价下跌7%时，是可以买入期待反弹的。当前，前提是我们确信期望值是0%，标准差是1.70%。
当我们预估股价波动的期望值每天是+0.3%，标准差是1.8%；那么一个月的收益率就是+6%，标准差是8%。一般的策略，当然是持股到月末，赚平均的+6%收益。如果月中出现14%的高点，应该适当减仓一部分。 不过，如果期望值的真值是更大的+0.6%或更小的+0.2%，止盈点就很难了。
我们给大数定律的期望值再加一个误差，实际就是考虑到了局部事例的不完备性。这也很好理解，比方说，右侧部分突然来了一个+3%事例，而不恰好左右对称了。
一般来说，我们还是得用完备系的约束条件，尤其是对于+1X外的稀有事例。“大涨往往对应大跌”，稀有事例主要是提供方差，而不是期望值。也就是，一个+3%事例，往往要有一个-3%事例与之中和，当然时间未必是明天或后天。
由于方差及期望值的约束。一组完备的随机事例，要么是大致平均分布在正负一个标准差内；要么是，稀有事例偏差很大也较多，而其他事例紧紧围绕在期望值附近。比方说，右边+6%，+2%，+2%，+1%；与左边-3%，-3%，-3%，-3%；这才是基本对称的。当突然出现一根巨阳线时，要么是后面有一根巨阴线迟早出现，要么是后面大阳线的数量相对更少。
如果预期股价上涨，那么股价分布应该是类似指数分布。指数分布的[0,+1X]大约占比63%，[+1X,+2X]占比23%；[0，+3X]占比95%，[0，+4X]占比98%。所以，一段最大涨幅可以分为4部分。
当周期开始的第一天股价大幅跳空高涨时，这基本上说明，起始点最低价是一个+4X以外事例。如果一个短周期大约是一个月22天，那么在+2X以外的事例大约是3天。就是说，前面3天的大幅上涨，大约占整个短周期的最大涨幅的1/2或1/3。比方说，前面3天股价有2天都是大涨+3%，那么大约还有+6%的涨幅在后头。
股价涨跌幅分布是高斯分布。所以，一个22天短周期内最多出现3次单日超过2%的大涨幅。所以在一段上涨趋势中，只要第三根大阳线没有出现，那么顶部就还没有确认到来，这时持股待涨总是不错的。由于跌幅超过1.5%的大阴线也有3根，在牛市上涨中，当第一根大阴线出现时，后面会有立即反弹跟随，是补仓博反弹的机会。但这也往往意味着，前期的顶部可能就是真的顶部，如果前面10来天涨幅已经很大的话。
股价在周期内的回调大约是整段涨幅的1/4到1/3，这是必然的。因为股价指数分布在[0，+1X]的占比有63%之多。这里是股价上攻的阻力区域，如果牛市中前面几个月累计涨幅不是太大，那么下一个周期还会继续上攻。所以，粗略的看，我们没必要在意这1/4的震荡回调，只要耐心等待下一个上涨周期的到来就行。
当前一个周期的3天大涨及3天大跌都已经出现过，如果又突然出现一根大阳线，那么就是新的上涨周期的开始。而如果前面股价已远高于5月均线，而突然出现一根跌幅很大的大阴线，那么下一个周期就是次级趋势的回调，会吞噬掉前面1个多月的整个涨幅。
从具体战术来讲，新的周期的一根大阳线就意味着大涨，一根大阴线就意味着大跌，这是很有道理的。在上涨趋势中，如果第一天先大幅下跌3%，那么第二天只能大幅反弹上涨+3%，第三天再大幅上涨+3%。但这意味着期望值越远的概率密度反而越大，这是不大可能的。 一般来说，如果第一天大幅上涨+3%，第二天应该大幅冲高回落涨+1%，第三天大幅上涨+3%。这样才能既保证越接近期望值，密度越大；同时，赶紧填满3天的稀有事例总数。
所以，在牛市中遇阻不前，徘徊震荡时，你最好耐心持股待涨。新的上涨总是以一根大阳线开始起涨的，这一天大涨就占了阶段总涨幅的1/4。
牛市中的阶段上涨，也可以是股价均匀分布的小幅上涨累加。不过，在牛市中期和后期，这种情形并不多见。
牛市中的回调，总是迅猛突然的。不过，轻易不要猜测回调的到来。只有当前面几个月累积涨幅太多，远远高于5月均线时，才要防范。 一般来说，当突然大跌5%以上，回调短周期开始时，再亡羊补牢的止损，才是可行的。
在牛市中每月涨幅的估计，我们是先估计一个数。当前50ETF的市盈率大约是10倍，估计未来一年时间能够到达市盈率20倍，这是比较合理的预期，折合每月上涨+6%。
比方说，估计每月应该平均上涨+6%，标准差是8%。那么当第一个月，月收盘+8%，我们认为预期相符；当第二个月+10%时，我们认为可能是+9%，比预估+6%还要高；当第三个月是+3%时，这个估计就是每月+7%；当第四个月+4%时，这个股价就是+6%。当第五个月是-6%时，期望值估计就是前五个月的平均值+4%。显然，随着事例的增多，平均值会越接近于真值。当然，前提是我们认为牛市上涨格局没变。
事物都是矫枉过正的。当我们坚信每月+6%的期望值时，其实调整从第三个月就开始了，毕竟观测值是在期望值左侧。当出现一个月-6%的巨大跌幅时，反而可能是好事。这是一个-1.5X的事例，那么未来就有一个+1.5X事例与之中和，那就是一个月+18%的涨幅。
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