数学分析考研真题练习二

中南大学2018年数学分析试题


解：曲线绕$y$轴旋转后所得曲面求法，将曲线方程中$y$因定，$x$用$\pm \sqrt{x^2+z^2}$来代替，即得：

                                   $(\sqrt{x^2+z^2})^2+3y^2=1,$

                     即,旋转后所得曲面方程为：

                                   $x^2+3y^2+z^2=1,$

                    过该曲面上一点$P(x_0,y_0,z_0),$的切平面方程为：

                                   $x_0x+3y_0y+z_0z=1.$

1、
                                   $\rho (x,y,z)=\frac{|-1|}{\sqrt{x^2+(3y)^2+z^2}},$

                                   $dS=\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2-3y^2}+\frac{(3y)^2}{1-x^2-3y^2}+1}=\sqrt{\frac{1+6y^2}{1-x^2-3y^2}},$

                             $\therefore I=\iint_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}dS=\iint_\Sigma \sqrt{1-x^2-3y^2}\sqrt{x^2+(3y)^2+z^2}\sqrt{\frac{1+6y^2}{1-x^2-3y^2}}dxdy=\iint_\Sigma (1+6y^2)dxdy,$

                     用广义球面坐标变换
                                  $x=r\cos\theta ,y=\frac{1}{\sqrt{3}}r\sin\theta ,0\leq r\leq 1,0\leq \theta \leq 2\pi.|J|=\frac{1}{\sqrt{3}}r.$
                                 
                                 $I=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}(1+6\cdot \frac{1}{3}r^2\sin^2\theta )\frac{1}{\sqrt{3}}rdr=\frac{5\sqrt{3}}{9}\pi.$

2、
                                  $I=\iint_Sz(x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma )dS=\iint_Szxdydz+zydzdx+z^2dxdy,$

                再利用高斯公式，有
                              
                                   $I=4\iiint_\Omega zdxdydz.$

                    因为是奇函数，故
                     
                                   $I=0.$

晕，《中南大学2018年数学分析试题》好怪，仿佛掉坑里了。


电子科技大学2019年数学分析考研试题

电子科技大学2019年数学分析考研试题

解：
        1、利用Stolz公式：
                                  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1!+2!+\cdots +n!}{n!}=\lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n!-(n-1)!}=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n-1}=1.$


         2、
                                 $\because x'=1+q\cos xx',$

                                  $\therefore x'=\frac{1}{1-q\cos x}.$

           3、因为$f(x)$连续，所以被积函数连续，因此在有限积分区间上可进行积分与极限交换顺序。

                                 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\int_{a}^{b}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}dx=\int_{a}^{b}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}dx=\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a).$

电子科技大学2019年数学分析考研试题


解：
       1、
                      $\because |R|=|\frac{\frac{3^n+(-2)^n}{n}}{\frac{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}{n+1}}|=\frac{1}{3}.$

                      $\therefore -\frac{1}{3}\leq R\leq \frac{1}{3}.$

      2、
                      $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz=yx^{y-1}\ln zdx+x^y\ln x\ln zdy+\frac{x^{y}}{z}dz.$

电子科技大学2019年数学分析考研试题


解:
          1、
                 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x\sin (\sin x)+\sin x}{4x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{-(1-\frac{1}{2}x^2)x+x-\frac{1}{6}x^3}{4x^3}=\frac{1}{6}.$


          2、
                   $I=\int_{0}^{\pi/2}e^x\cos ^2xdx=e^x\cos ^2x|_0^{\pi/2}+\int_{0}^{\pi/2}e^x\sin 2xdx=1-2\int_{0}^{\pi/2}e^x(2\cos^2x-1)dx,$

                   $\therefore I=\frac{1}{5}(2e^x-1).$

电子科技大学2019年数学分析考研试题

电子科技大学2019年数学分析考研试题




解：利用高斯公式计算：

                                  $\begin{align*}
I&=\iint_S\sin \sqrt{y^2+z^2}dydz+\sin \sqrt{z^2+x^2}dzdx+\sin \sqrt{x^2+y^2}dxdy\\\\
&=\int \oint_{S+z=h}0dxdydz+\iint_{z=h}\sin hdxdy\\\\
&=\pi h^2\sin h.
\end{align*}$

电子科技大学2019年数学分析考研试题

证明：
                      $\begin{align*}\because|x_{n+1}-x_n|&=q|\sin x_n-\sin x_{n-1}|\\\\&=q|\cos \xi||x_n-x_{n-1}|\\\\&\leq q|x_n-x_{n-1}|\\\\&\leq \cdots \\\\&\leq q^n|x_1-x_0|,
\end{align*}$

                      $\therefore \sum (x_{n+1}-x_n)$收敛。

                  因此，$\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n$存在。

电子科技大学2019年数学分析考研试题


证明：由泰勒公式

                                  $\because f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+\frac{1}{2}f''(\xi )(1-x)^2,\xi\in(0,1)$

                                  $f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+\frac{1}{2}f''(\eta )(-x)^2,\eta\in(0,1)$

                                  $\therefore f(1)-f(0)=f'(x)+\frac{1}{2}f''(\xi )(1-x)^2-\frac{1}{2}f''(\eta )(x)^2,$
                 即
                                  $f'(x)=f(1)-f(0)-\frac{1}{2}f''(\xi )(1-x)^2+\frac{1}{2}f''(\eta )(x)^2\leq f(1)-f(0)+\frac{1}{2}f''(\eta )(x)^2,$

                                  $\therefore |f'(x)|\leq |f(1)|+|f(0)|+|\frac{1}{2}f''(\eta )(x)^2|< 1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$

电子科技大学2019年数学分析考研试题


证明：由已知
                            $x\in[0,+\infty ),a> 1$

                            $\because |\frac{x^n}{e^{an}}|\rightarrow 0,(n \to \infty )$

           与$x$无关，因此，原级数一致收敛。