数学分析考研真题练习二

电子科技大学2019年数学分析考研试题


解：
            用球面坐标
                                  $x=r\cos \varphi \cos \psi ,y=r\sin \varphi \cos \psi ,z=r\sin \psi ,$

                                  $0\leq \varphi \leq 2\pi,0\leq \psi \leq \frac{\pi}{2},0\leq r\leq 4\sin \psi ,|J|=r^2\cos \psi .$

                                  $\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2+z^2}dV=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\cos \psi d\psi\int_{0}^{4\sin \psi } r^3dr=4^3\cdot 2\pi\int_{0}^{\pi/2}\cos \psi\sin ^4\psi d\psi=\frac{4^3\cdot 2\pi}{5}.$

电子科技大学2019年数学分析考研试题


解：
           第一个级数，是单调降的交错级数，由莱卜尼兹判别法，收敛；

            第二个级数可分为奇数项子列和偶数项子列，而奇数项为单降的交错级数收敛，但偶数子列发散面对同样级数发散。

电子科技大学2019年数学分析考研试题


证明：
              1、
                      $\because \int_{0}^{\infty }\sin x^2dx=\int_{0}^{1}\sin x^2dx+\int_{1}^{\infty }\sin x^2dx=\int_{0}^{1}\sin x^2dx+\int_{1}^{\infty }\frac{\sin t}{2\sqrt{t}}dt,$

                                      $\int_{0}^{1}\sin x^2dx< \infty ,$

                                       $\int_{1}^{\infty }\frac{\sin t}{2\sqrt{t}}dt\leq \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty }\sin tdt< \infty .$

                       $\therefore \int_{0}^{\infty }\sin x^2dx< \infty .$

              2、
                         $\because |\frac{\sin x^2}{1+x^y}|\leq \frac{1}{1+x^y}\rightarrow 0,(x>1,y\to \infty )$

                         $\therefore \int_{1}^{\infty }\frac{\sin x^2}{1+x^y}< \infty .$

云南大学2017年数学分析试题


解：
          $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2\sin x}-x-1}{x\ln(1+x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x(x-\frac{1}{2}x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{1}{3!}x^3-x}{x^2(1-\frac{x}{2})}=0.$

云南大学2017年数学分析试题

解：
           $\int_{-2}^{1}Max\{1,x^2\}dx=\int_{-2}^{-1}x^2dx+\int_{-1}^{1}dx=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}+1+1=-\frac{1}{3}.$

云南大学2017年数学分析试题


解：令
                       $F(x,y,z)=e^{\frac{x}{z}}+e^{\frac{y}{z}}-4,$
                则
                        $F'_x=\frac{1}{z}e^{\frac{x}{z}}|_(\ln2,\ln2,1)=2,$

                        $F'_y=\frac{1}{z}e^{\frac{y}{z}}|_(\ln2,\ln2,1)=2,$

                        $F'_z=(-\frac{x}{z^2}e^{\frac{x}{z}}-\frac{y}{z^2}e^{\frac{y}{z}})|_(\ln2,\ln2,1)=-4\ln2,$

       所求法线方程为

                          $\frac{x-\ln2}{2}=\frac{y-\ln2}{2}=\frac{z-1}{-4\ln2}.$

云南大学2017年数学分析试题

云南大学2017年数学分析试题



解：
              $\frac{\partial u}{\partial y}=x+e^y.$

云南大学2017年数学分析试题


解：用Stolz定理：

                   $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots +\sqrt[n]{n}}{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{n}}{1}=1.$

云南大学2017年数学分析试题


证明：
         （1）、令
                                 $F(x)=f_n(x)-1=\sin x+\sin^2x+\cdots +\sin^nx-1,$

                                 $\because F(\frac{\pi}{2})=n-1> 0,$

                                   $F(\frac{\pi}{6})=\frac{\sin \frac{\pi}{6}-\sin^n\frac{\pi}{6}}{1-\sin \frac{\pi}{6}}-1=-(\frac{1}{2})^{n-1}< 0,$

                      因此，方程$f_n(x)=1$在$x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上至少有一根。

                      又
                                  $\because F'(x)=\frac{-\cos x(\sin x-\sin^nx)-(1-\sin x)(\cos x-n\cos x\sin^{n-1}x)}{(1-\sin x)^2}> 0,x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$

                                 $\therefore F(x)\uparrow .$

                        所以，方程$f_n(x)=1$在$x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上只有一根。

      （2）、设
                                $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n=x,$

                               $\because \frac{\sin x_n-\sin^nx_n}{1-\sin x_n}-1=0,$

                               $\therefore \frac{\sin x}{1-\sin x}-1=0,(n \to \infty )$

                               $\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2},x=\frac{\pi}{6}.$
                   即有
                               $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n=\frac{\pi}{6}.$