Contents 1 Introduction. 4 2 Review of probability. 5 2.1 Properties of expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Convergence of random variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Convergence in probability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Information and independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Conditional expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Continuous time stochastic processes. 13 3.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Filtrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Stopping times. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Martingales. 18 4.1 Optional sampling theorem and Doob’s inequalities. . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Local martingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Quadratic variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4 Martingale convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Stochastic integrals. 22 5.1 Definition of the stochastic integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 Conditions for existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3 Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4 Change of time variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.5 Change of integrator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.6 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.7 Approximation of stochastic integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.8 Connection to Protter’s text. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 Covariation and Itˆo’s formula. 35 6.1 Quadratic covariation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2 Continuity of the quadratic variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3 Ito’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.4 The product rule and integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.5 Itˆo’s formula for vector-valued semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Stochastic Differential Equations 42 7.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.2 Gronwall’s inequality and uniqueness for ODEs. . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.3 Uniqueness of solutions of SDEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4 A Gronwall inequality for SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.5 Existence of solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.6 Moment estimates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8 Stochastic differential equations for diffusion processes. 53 8.1 Generator for a diffusion process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.2 Exit distributions in one dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8.3 Dirichlet problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.4 Harmonic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.5 Parabolic equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.6 Properties of X(t, x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.7 Markov property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.8 Strong Markov property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.9 Equations for probability distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.10 Stationary distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8.11 Diffusion with a boundary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9 Poisson random measures 63 9.1 Poisson random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 9.2 Poisson sums of Bernoulli random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.3 Poisson random measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9.4 Integration w.r.t. a Poisson random measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9.5 Extension of the integral w.r.t. a Poisson random measure . . . . . . . . . . 68 9.6 Centered Poisson random measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.7 Time dependent Poisson random measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9.8 Stochastic integrals for time-dependent Poisson random measures . . . . . . 75 10 Limit theorems. 79 10.1 Martingale CLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 10.2 Sequences of stochastic differential equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 10.3 Approximation of empirical CDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 10.4 Diffusion approximations for Markov chains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 10.5 Convergence of stochastic integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11 Reflecting diffusion processes. 87 11.1 The M/M/1 Queueing Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.2 The G/G/1 queueing model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.3 Multidimensional Skorohod problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.4 The Tandem Queue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 12 Change of Measure 93 12.1 Applications of change-of-measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 12.2 Bayes Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 12.3 Local absolute continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 12.4 Martingales and change of measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 12.5 Change of measure for Brownian motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12.6 Change of measure for Poisson processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13 Finance. 99 13.1 Assets that can be traded at intermediate times. . . . . . . . . . . . . . . . . 100 13.2 First fundamental “theorem”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13.3 Second fundamental “theorem”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14 Filtering. 106 15 Problems. 109
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