支出函数e（p，u）

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大神们，请问怎么证明：如果直接效用函数U(x)是凹函数，即U‘’<=0，则e(p,u)是u的凸函数。

注意啦，e(p,u)是p的凹函数，教材3.E节中已经证明过了。
我要求的是e(p,u)是u的凸函数哦。

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关键词：支出函数 效用函数

支出函数跟总成本函数性质差不多，证明凸函数的方法也类似

要证明当直接效用函数 \( U(x) \) 是凹函数时，相应的支出函数 \( e(p,u) \) 也是凹的关于价格向量 \( p \)，我们可以通过以下步骤来解析：

1. **定义**：首先，需要明确几个概念。支出函数 \( e(p,u) \) 定义为在给定效用水平 \( u \) 下，为了达到该效用水平，在不同价格水平 \( p \) 下所必需的最小花费。

2. **凹性定义**：对于一个向量值函数来说，它在某个点上的凹性可以通过其二阶导数（或者更精确地是黑塞矩阵）来判断。若函数为凹，则黑塞矩阵应该是一个半正定矩阵。

3. **直接效用函数的凹性与支出函数的关系**：如果 \( U(x) \) 是凹的，这意味着当消费者在消费选择上进行边际调整时，边际效用递减，这符合我们的直观理解。而支出函数是价格和所需达到的效用水平之间的映射，它描述了为了维持给定的效用水平随着商品价格的变化所需的最低消费水平。

4. **证明步骤**：

   a) 假设我们有两个不同的价格向量 \( p_1 \) 和 \( p_2 \)，以及它们对应的支出函数值 \( e(p_1, u) \) 和 \( e(p_2, u) \)。
   
   b) 对于任意的 \( 0 < t < 1 \)，定义一个新的价格向量 \( p(t) = tp_1 + (1-t)p_2 \)。我们想证明的是对于这个混合的价格，支出函数满足凹性的条件：\( e(p(t), u) \leq te(p_1, u) + (1-t)e(p_2, u) \)。
   
   c) 因为 \( U(x) \) 是凹的，并且我们选择商品以最小化总支出，这意味着对于任意价格向量 \( p \)，存在一个相应的消费束 \( x^*(p,u) \)，使得 \( U(x^*(p,u)) = u \) 且满足：
   
      i) 当考虑混合的价格 \( p(t) \)，由效用函数凹性的性质和支出最小化原则，对于价格向量 \( p_1 \) 和 \( p_2 \) 下最优消费束的任何组合（即 \( t x^*(p_1,u) + (1-t)x^*(p_2,u) \)），支出函数 \( e(p(t), u) \) 应当小于或等于由这些消费束产生的总成本。
   
      ii) 因为 \( U(x) \) 是凹的，根据效用函数的性质，混合价格下获得的效用应该大于或等于 \( u \)，即 \( U(tx^*(p_1,u) + (1-t)x^*(p_2,u)) \geq u \)。
   
   d) 结合以上分析，并通过直接计算支出函数在混合价格下的值，我们可以利用凹性的性质证明上述不等式成立。

5. **结论**：由于 \( U(x) \) 的凹性，我们可以推断出支出函数 \( e(p,u) \) 关于价格向量 \( p \) 也是凹的。这符合经济学直觉——如果商品价格上涨，则为了维持相同的效用水平，消费者可能需要增加支出，但这种增加并不是线性的，尤其是在不同商品之间的替代效应存在时。

以上步骤提供了证明支出函数凹性的一个框架，具体的数学推导会涉及到偏导数、黑塞矩阵的性质以及对凸集和凹函数的基本定理的应用。

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