数学分析习题题练习四

2020年各高校曲线积分试题


解：作一圆
                     $C:x^2+y^2=\varepsilon ^2,(\varepsilon > 0)$

      再利用格林公式

                      $\begin{align*}\oint_L&=\oint_{L-C}+\oint _C=0+\oint _C\\\\&=\frac{1}{\varepsilon ^4}\oint _Cy^3dx-xy^2dy\\\\&=\frac{1}{\varepsilon ^4}\iint_D(-y^2-3y^2)dxdy\\\\&=\frac{-4}{\varepsilon ^4}\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta d\theta \int_{0}^{\varepsilon }r^2\cdot rdr\\\\&=-\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta d\theta\\\\&=-\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos2\theta +1}{2}d\theta \\\\&=-\pi.\end{align*}$

重庆大学2020年数学分析试题


【解法一】：直接利用高斯公式计算$$\iint_Szdxdy=\iiint_\Omega dV=\frac{4}{3}\pi.$$


【解法二】：直接计算
                               $\begin{align*}\iint_Szdxdy&=2\iint_{D_{xy}}\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\\\\&=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}rdr\\\\&=-4\pi\cdot \frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}|_0^1\\\\&=\frac{4}{3}\pi.\end{align*}$






                       

重庆大学2020年数学分析试题


解：
            由对称性知$$\int_Lx^2ds=\int_Ly^2ds=\int_Lz^2ds=\frac{1}{3}\int_L(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{a^2}{3}\int_Lds=\frac{2}{3}\pi a^3.$$






                              

南昌大学2020年数学分析真题


解：1、
               $\displaystyle\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2+\cos^2n}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{1+\frac{\cos^2n}{2}}=1.$

       2、
               $\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{1-\sin^2\frac{\pi}{6}x}{1-x^2}=\lim_{x \to 1}\frac{-\frac{\pi}{6}\cdot 2\cos\frac{\pi x}{6}\sin\frac{\pi x}{6}}{-2x}=\frac{\pi}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi}{24}.$


       3、
               $\begin{align*}\int x^2\cos xdx&=x^2\sin x-\int 2x\sin xdx\\\\&=x^2\sin x+2x\cos x-2\int \cos xdx\\\\&=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x. \end{align*}$  


     4、
                $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{k}{n^3}\sqrt{n^2-k^2}&=\lim_{n \to \infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{k}{n^2}\sqrt{1-(\frac{k}{n})^2}\\\\&=\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx\\\\&=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}|_0^1\\\\&=\frac{1}{3}.\end{align*}$

南昌大学2020年数学分析真题


解:
              作变量变换，令
                                         $u=x+y,v=x-y,$
                       则
                                        $x=\frac{1}{2}(u+v),y=\frac{1}{2}(u-v),\\
D\Rightarrow D':0\leq u\leq 1,0\leq v\leq 1,|J|=\frac{1}{2}.\\$
                    因此有         
                            $\begin{align*}I&=\iint_{D} \frac{(x+y)^2}{1+(x-y)^2}dxdy=\frac{1}{2}\iint_{D'} \frac{u^2}{1+v^2}dudv\\\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^2du\int_{0}^{1}\frac{1}{1+v^2}dv\\\\&=\frac{\pi}{24}.\end{align*}$

         

南昌大学2020年数学分析真题


解：
                 添加直线：$\overrightarrow{BA},$使之与上半圆组成一个闭合区域$L$,并对此用格林公式。

                由
                               $P=-2xe^{-x^2}\sin y,Q=e^{-x^2\cos y}+x^4,\\
\frac{\partial Q}{\partial x}=-2xe^{-x^2}\cos y+4x^3,\frac{\partial P}{\partial y}=-2xe^{-x^2}\cos y,\\$
                则
                                 $\begin{align*}I&=\int_C=\oint_L-\int_{\overrightarrow{AB}}\\\\&=\iint_D4x^3dxdy-0\\\\&=8\int_{0}^{\pi/2}\cos^3tdt\int_{0}^{1}r^4dr\\\\&=\frac{8}{5}\int_{0}^{\pi/2}\cos^3tdt\\\\&=\frac{8}{5}(\sin t-\frac{1}{3}\sin^3t)|_0^{\pi/2}\\\\&=\frac{16}{15}.\end{align*}$

南昌大学2020年数学分析真题


解：添加2个平面$L_1:z=1$，方向向上，$L_2:z=2.$方向向下，则$S+L_1+L_2$为讨债曲面。利用高斯公式$$I=\iint_S=\iint_{S+L_1+L_2}-\iint_{L_1} (x^2-1)dxdy+\iint_{L_2} (x^2-2)dxdy,$$

                                       $\displaystyle \iint_{S+L_1+L_2}=\iiint -3dV=-3\pi.$

                                       $\displaystyle \iint_{L_1} (x^2-1)dxdy=\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}(r^2\cos^2t-1)rdr=-\frac{3}{2}\pi.$

                                        $\displaystyle \iint_{L_2} (x^2-2)dxdy=\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{2}(r^2\cos^2t-1)rdr=0.$

                                        $\displaystyle \therefore I=-3\pi+\frac{3}{2}\pi+0=-\frac{3\pi}{2}.$

东北师范大学2020年考研试题


解：
      （1）、
                   $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}\cdot (1+x)^{\frac{3}{2}}|_0^1=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1).$

       (2)、
               $\displaystyle \because (1+\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+n})^n\geq (1+\frac{n}{n^2+n})^n=(1+\frac{1}{n+1})^n=(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)\cdot \frac{n}{n+1}}=e,(n \to \infty )$

                $\displaystyle (1+\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+n})^n\leq (1+\frac{n}{n^2+1})^n=(1+\frac{n}{n^2+1})^{\frac{n^2+1}{n}\cdot \frac{n^2}{n^2+1}}=e,(n \to \infty )$

                $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+n})^n=e.$

      （3）、
                   $=0.$

      （4）、
                 $\begin{align*}\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\\\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+y^2}\\\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\\\\&=0.\end{align*}$   
                 

       (5)、
                 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\ln(1+\sin x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}.$

东北师范大学2020年考研试题

解：
         利用隐函数求导
                                 $\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0,$

                                 $\frac{\partial f}{\partial v}-\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=0,$

                                 $\therefore \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}}{\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}}.$