数学分析习题题练习四

中国科学技术大学2020年数学分析A2试题

解：先利用高斯公式，再利用积分轮换对称性质

                                   $\begin{align*}I&=\iint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy\\\\&=2\iiint_\Omega 3(x+y+z)dV\\\\&=18\iiint_\Omega zdxdydz\\\\&=18\iint_Sdxdy\int_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}zdz\\\\&=9\iint_S(1-x^2-y^2)dxdy\\\\&=9\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}(1-r^2)rdr\\\\&=-\frac{9\pi}{2}(1-r^2)^2|_0^1\\\\&=\frac{9}{2}\pi.\end{align*}$

中国科学技术大学2020年数学分析A2试题

2020年中科大综合评价试题精解及其推广

                                                                                                         摘自“Xionger的数学小屋”

2020上海财大

一、 解
                         $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}(\tan x)^{\sin x}=\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}}=1.$

二、解
         1、
                         $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1^k+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}=\int_{0}^{1}x^kdx=\frac{1}{k+1}.$

          2、
                         $\displaystyle \begin{align*}\lim_{n \to \infty }n(\frac{1^k+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}-\frac{1}{k+1})&=\lim_{n \to \infty }\frac{(k+1)(1^k+2^k+\cdots +n^k)-n^{k+1}}{(k+1)n^k}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{(k+1)(n+1)^k-n^{k+1}+(n+1)^{k+1}}{(k+1)((n+1)^k-n^k)}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)^k(k+1+n+1)-n^{k+1}}{(k+1)((n+1)^k-n^k)}\\\\&=+\infty .
\end{align*}$

上财大2020年数学分析
三、证明
               $\inf f(x)+\sup g(x)\leq \sup \{f(x)+g(x)\}\leq \sup f(x)+\sup g(x).$

证明：
             先证右边不等式
                                      $\because \inf f(x)\leq f(x),\inf g(x)\leq g(x),$

                                      $\therefore \inf f(x)+\inf g(x)\leq f(x)+g(x),$

                   由定义得
                                       $\Rightarrow \inf f(x)+\inf g(x)\leq \inf \{f(x)+g(x)\},$

                   再利用上式，得
                                       $\Rightarrow \inf \{f(x)+g(x)\}+\inf \{-g(x)\}\leq \inf\{f(x)+g(x)-g(x)\}=\inf f(x),$

                     整理得
                                       $\Leftrightarrow \inf \{f(x)+g(x)\}\leq \inf f(x)-\inf \{-g(x)\}\leq \sup f(x)+\sup g(x).$

                       因此，右边不等式成立。再证左边不等式。

                    同理右得
                                       $f(x)+g(x)\leq \sup f(x)+\sup g(x),$

                       由定义得
                                        $\sup\{f(x)+g(x)\}\leq \sup f(x)+\sup g(x),$

                       利用上式结论，得
                                         $\Rightarrow \sup\{f(x)+g(x)-f(x)\}\leq \sup \{f(x)+g(x)\}+\sup \{-f(x)\},$

                                         $\Leftrightarrow -\sup \{-f(x)\}-\sup g(x)=\inf f(x)+\sup g(x)\leq \sup \{f(x)+g(x)\}.$

                      左边不等式成立。综上结论，命题成立。

同理，有下列不等式成立：
                                     $\inf f(x)\cdot \inf g(x)\leq \inf\{f(x)g(x)\},$

                                     $\sup\{f(xg(x))\}\leq \sup f(x)\cdot \sup g(x).$

上海财经大学2020年数学分析考研试题

解：
      1、由积分区间的对称性和积分函数的奇偶性知
                                          $\displaystyle \oint_SxdS=0.$


      2、由积分轮换对称性，
                                          $\displaystyle \oint_Sx^2dS=\frac{1}{3}\oint_S(x^2+y^2+z^2)dS=\frac{1}{3}\oint_SdS=\frac{4}{3}\pi.$


       3、在xoy平面上的投影区域：
                                           $\displaystyle D_{xy}:x^2+y^2+(x+y)^2=1,$

                              设
                                            $\displaystyle x=u+v,y=u-v,$

                          作变换
                                             $\displaystyle D'_{uv}:u^2+v^2=\frac{1}{6},J=2.$

                                             $\displaystyle \oint_Sy^4dS=\oint_{S'}(u-v)^4dS'=\frac{1}{3}\oint_SdS$
                             而
                                             $\displaystyle dS=\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2-y^2}+\frac{y^2}{1-x^2-y^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy,$

                                              $\displaystyle dS'=\frac{2}{\sqrt{1-(u+v)^2-(u-v)^2}}dudv=2dudv,$

                                  计算，
                                              $ \begin{align*}\oint_Sy^4dS&=\oint_{S'}(u-v)^4d{S'}\\\\&=2\iint_{D'_uv}(u-v)^4 dudv\\\\&=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}(r\cos\theta -r\sin\theta )^4rdr\\\\&=\frac{1}{108}\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta -\sin \theta )^4d\theta\\\\& =\frac{1}{108}\int_{0}^{2\pi}(1-2\sin2\theta +\sin^22\theta )d\theta\\\\& =\frac{1}{108}(3\pi+2).\end{align*} $