数学分析习题题练习四

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


证明
              令：
                        $\displaystyle F(x)= (\int_{0}^{x}f(t)dt)^2,G(x)= \int_{0}^{x}f^3(t)dt,$

             利用柯西中值定理（2次）

                          $\begin{align*}\frac{(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2}{\int_{0}^{x}f^3(t)dt}&=\frac{F(1)-F(0)}{G(1)-G(0)}\\\\&=\frac{(\int_{0}^{1}f(t)dt)^2}{\int_{0}^{1}f^3(t)dt}\\\\&=\frac{2f(\xi)\int_{0}^{\xi}f(t)dt}{f^3(\xi)} \\\\&\frac{2\int_{0}^{\xi}f(t)dt-\int_{0}^{0}f(t)dt}{f^2(\xi)-f^2(0)}\\\\&=\frac{2f(\eta)}{2f(\eta)f'(\eta)}\\\\&=\frac{1}{f'(\eta)}> 1.\end{align*}$

               由此得
                           $\displaystyle (\int_{0}^{x}f(t)dt)^2> \int_{0}^{x}f^3(t)dt,$

              令$x=1$,即得命题结论。

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


感觉这道是错的？

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


证明：
                因为当$x=\frac{1}{n}$时，$f_n(x)=1,(n\to+\infty)$不趋于$0$.因此，$f_n(x)$不一致收敛。

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


解：
             将积分区间分为：$D=D_1+D_2,$

                                        $D_1:0\leq x\leq\frac{1}{4y}, 0\leq y\leq 1,$

                                        $D_2:\frac{1}{4y}\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1.$

                    则:
                                         $I=\iint_D|xy-\frac{1}{4}|dxdy=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}=\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{\frac{1}{4y}}(-xy+\frac{1}{4})dx+\int_{0}^{1}dy\int_{\frac{1}{4y}}^{1}(xy-\frac{1}{4})dx.$

                       而其中：
                                         $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{\frac{1}{4y}}(-xy+\frac{1}{4})dx=\int_{0}^{1}dy(-\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{4}x)|_0^{\frac{1}{4y}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{32y}dy,$

                                         $\begin{align*}\int_{0}^{1}dy\int_{\frac{1}{4y}}^{1}(xy-\frac{1}{4})dx&=\int_{0}^{1}dy(\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{4}x)|_{\frac{1}{4y}}^{1}\\\\&=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}y-\frac{1}{4})dy-\int_{0}^{1}\frac{1}{32y}dy\\\\&=\frac{1}{4}-\int_{0}^{1}\frac{1}{32y}dy,\end{align*}$

                                         $\therefore I=\frac{1}{4}.$

上述解答有误。下面是正确答案

中国矿业大学2020年数学分析考研试题

解：
                                 $\because u(x,2x)=x,$

            对$x$求偏导
                                   $u_x+2u_y=1,$
         
             再 对$x,y$分别求偏导
                                 $u_{xx}+2u_{xy}+2u_{yx}+4u_{yy}=0---------(1)$

                                  $u_{xx}+2u_{xy}=0---------------(2)$

                     又
                                   $\because u_x(x,2x)=x^2,$

               对$x$求偏导
                                   $u_{xx}+2u_{xy}=2x--------------(3)$

                由已知
                                   $\because u_{xx}=u_{yy},$

              由上面$(1),(2),(3)$三个方程，解得

                                     $u_{xy}=\frac{4}{3}x,$

                                     $u_{xx}=u_{yy}=-\frac{2}{3}x.$

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


区间夽定理：



聚点定理：
有界无穷点集  至少有一个聚点(极限点) 。

用区间夽定理证明聚点定理，比较容易。只要将有界无穷点集看成是一个实数有界闭区间。然后二分区间，则到少有一部分区间有无穷多点，再将此区间一分为二，再取无穷多点的那个区间，再一分为二，如此方法，一直进行下去，当无限分划下去，最后必有一个点，属于所有区间，这个点即是极限点。

中国矿业大学2020年数学分析考研试题


解，先添加一个平面：
                                 $S':z=2,(x^2+y^2\leq 4)$

           方向向上，使$S+S'$成一闭合曲面。利用高斯公式，有
                                   $\begin{align*}I&=\iint_S(z^2+x)dydz-zdxdy\\\\&=\iint_{S+S'}-\iint_{S'}\\\\&=\iiint_\Omega 0dV-\iint_{S'}(z^2+x)dydz-zdxdy\\\\&=\iint_{S'}zdxdy\\\\&=2\iint_{D'}dxdy=8\pi.\end{align*}$

安徽师范大学2020年601数学分析真题


解：
                    $\displaystyle \because 1^3+2^3+\cdots +n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2,$

                                 $\displaystyle 1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2},$

                     $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[2]{1^3+2^3+\cdots +n^3}}{1+2+\cdots +n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{n(n+1)}{2}}=1.$

安徽师范大学2020年601数学分析真题


解：
                  利用已知的高阶导数公式，并由Leibniz求导公式

                            $\displaystyle (e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax},$

                            $\displaystyle \sin^{(n)}(ax+b)=a^n\sin(ax+b+\frac{n\pi}{2}),$

                            $\displaystyle (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)},$

                            $\begin{align*}\therefore (e^{2019x}\sin(2018x+2017))^{(2020)}&=e^{2019x}\sin(2018x+2017)[2019^{2020}\\\\&+2020\cdot 2019^{2019}\cdot 2018-\frac{2020\cdot 2019^{2018}\cdot 2018^2}{2!}+\cdots +2018^{2020}].\end{align*}$

安徽师范大学2020年601数学分析真题


解：
                      $\because x_n=(\cos \frac{n\pi}{4})^n,$

                      $\therefore \inf\{x_n\} =-1,\sup\{x_n\}=1.$

                      $\therefore \underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}x_n=-1,$

                      $\underset{n \to \infty }{\overline{\lim}}x_n=1.$