关于凸函数,凹函数,我要崩溃了,

凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C（区间）上的实值函数f 　　设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有 　　f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的下(上)凸函数,且凹函数是指下凸函数 　
      　判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 　　一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。 　　如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凹函数。
凹函数性质的证明 　　设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0 　　设x1<x2,0<a<1 　　证明：f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2) 　　因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0 　　则x1<ax1+(1-a)x2 　　根据拉格朗日中值定理 　　必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2 　　使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ) 　　同理 　　存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2 　　使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ) 　　故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)] 　　根据拉格朗日中值定理 　　有μ<δ<ξ 　　f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ) 　　因f''(x)>0 　　则f'(μ)- f'(ξ)<0 　　则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0 　　整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2) 　　若f''(x)<0结果相反




凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f 　　设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有 　　f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 　　则f称为Ｉ上的凸函数. 　　判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 　　一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。（向下凸） 　　如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

补充一点：经济学的凹凸性正好和数学相反。数学的凹凸性很容易理解，画一个图就看得出来了。经济学的凹凸性，也不难理解。

concave  f''<0, convex, f''>0 经济学里就这么定义的

5楼说的很好

感觉大家对中文凸函数的理解都不全面啊，实际上，中文的凸函数是分为上凸和下凸的，我的记忆方法是上凸是指向上凸，和英文里面的concave函数是一样的，可以记个实际的例子，比如常用到的log(x)就是concave函数，那它明显是上凸的，就记住concave和上凸是一回事了。。。。
下凸和上凸相反，是指向下凸。。。。
我一直都这么记忆，从来没有混淆过。。。。

凸函数还是凹函数，无统一标准。所以在一些数学分析教材里为了区分，把凸函数分为上凸和下凸。请楼主学习时分清教材概念，最好能记一两个实例。

崩溃是学会之母.....

为什么我理解的凸凹函数是根据二次导数来定义的？
f''(x) >0 凸
f''(x) <0 凹

呵呵，所谓的凹凸不能光看形状的，光看形状基本上你说这是凸的我说这是凹的，咱俩从不同的视角，争论起来根本说不清，楼主可以找数学分析的书，那里面只有凸函数这一说的，然后定义上凸函数和下凸函数，对于具体的形状，用严格的数学定义来扣，肯定错不了，再记住上凸和下凸的形状，就肯定不会混淆啦。

根据上下句来理解啊！