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海涅定理及其推广和应用

本文叙述了海涅定理的两种形式，揭示了变量变化的整体与部分的联系，在某种条件下，数列极限和函数极限可以相互转换．并对海涅定理进行了推广，给出了海涅定理条件减弱之后的等价命题，作出了新的证明．相应地海涅定理可表示为更强的形式，从而对论证某些函数极限的存在性会更方便，处理函数极限问题时更加方便实用，本文还说明了海涅定理在具体问题中的应用。
一、引言
在极限理论中,有一个重要的定理—海涅定理,它深刻地揭示了变量变化的整体与部分,连续与离散之间的联系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以相互沟通的“桥梁”.在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转换.根据海涅定理的必要性,可将函数极限化为函数值数列的极限,根据海涅定理的充分性,又能将数列极限的性质转移到函数极限上来.在极限理论和运用中,占有非常重要的地位.
不同的教科书对海涅定理的叙述有所差异,本文叙述了海涅定理的两种形式,通过分析定理1的含义指出了变量离散变化与连续变化之间的内在联系,即变量变化的整体与部分,连续与离散之间的联系，从而成为将数列极限问题与函数极限问题相互沟通,相互转化的“桥梁”,这是海涅定理在函数极限理论中起着极为重要的原因之一,通过分析定理2,我们知道海涅定理的这两种形式从根本上说是相同的,但大同中有小异:前一种表述明确地指出了极限值是A,后者没有.因而这两种表述各具特色:前者具体,后者抽象,更有概括性.