下面的内容转自博士家园 论坛 -> 数学人生区 -> 家园咖啡屋,主贴作者mathworker
我只转了一部分精彩言论,其余有所删节,用引用的部分是其他网友的发言,其余是mathworker 的发言,很不错,大家看看吧,对于学习数学也有一定意义.
注：下面是我写的一份回信。 你好！和你一样，我也是一年级的博士生，所以谈不上“讨教”。每个人的未来都需要自己去规划。我的一些经验不一定适合你。我认为学习数学必须有一个好的基础，否则就难以进行进一步的学习。我大一时读了王元写的《华罗庚传》，对这位众所周知的传奇人物十分敬仰。对伟大人物的崇拜和数学的抽象性使我觉得数学非常的神秘。我困惑于这种神秘，想要了解它。像每一个学生一样，我按部就班的学习数学。两年的时间过去后，我十分清楚自己什么都没学懂。极限对我来说是一个模模糊糊的概念，我不知道连续是什么，我知道微分积分的法则，但它们究竟是什么呢？我头脑里积存了太多的问题，却无法解答。我甚至不相信自己有能力解答。我觉得数学是神秘的，我只能窥视它而不能了解它。我读数学人物传记，读数学史。我没法完全读懂它们，但我喜欢读它们，因为读它们比读教材容易。我觉得只有读它们才能触及到数学的灵魂，才能了解数学。我似乎对数学兴趣十足，但读教材又真正令我头疼。我读不懂数学证明，我解不出数学题。我没法相信自己能够掌握数学。现在回想起过去的这样一段经历，我能做什么解释呢？它说明我不够聪明，还是太过聪明？前者容易理解，后者呢？在上大学前，我便对自己的抽象思维能力颇为欣赏，我相信我有超越常人的洞察力。也许当时我意识到自己不懂，恰说明我比别人懂。而“别人”是什么人呢？“别人”是一点也不懂数学的人。现在数学系的学生百分之九十以上甚至谈不上了解数学，更何况懂呢？大三以前我不懂数学，但在某种意义上讲我了解了数学。学习数学的层次可以划分为“how”和“why”。工科生学数学是在“how”的层次上；数学系的学生应该到“why”的层次上。先知道“how”然后明白“why”这符合人的认知规律，绝大多数人都是知道了“how”便觉得懂了，我却一直在问“why”。现在学校的数学教育实在不能入目，课堂上的教学顶多到“how”，至于“why”好多讲课的老师都不知道还要问“why”，更不用说“know why”。实际上，即便老师知道“why”，在课堂上讲了“why”，一般学生也不能“understand why”。这是数学学习的一个特点，不经过自己思考的东西是不能够充分理解的。不经过思考型的自学便不能到“know why”的层次。大三以后，我花了很长的时间重读数学分析和高等代数，逐字逐句地读，咬文嚼字地读，在阅读中把头脑中积累下来的那些“why”扫除干净。通读一次之后，对数学的认识大大提高。但是又有新的“why”冒出来，于是返回头再去解决它。就这样我把分析学的主干课程全部重学一遍。我现在的数学基础差不多就是这样奠定下来的。我的学习过程有一个很大的缺陷，就是因为急着要看更多的书而不去做题。好在我头脑中有很多“why”相对弥补了一些不足。现在我想返回头来做题，但是时间不允许这样做。因为博士生“know why”是不够的，要“learn to create and begin to do mathematics”。上面大致谈了我学习数学的经历，希望能对你有所启发。博士阶段最重要的还是写论文。写论文之前首先要读论文。读论文是博士阶段学习的主要手段。没有好的数学基础很难写出论文或高水平的论文。如果数学基础不够的话，返回头来补是必要的。
对于学数学的来说，基础太重要了，我现在研一，感觉基础不牢，数分高代当时没认真学，也没怎么做过题，其他基础课更不用说了。想回头补感觉很难，一是：时间不多需要补的太多了，做题的话很耽误时间。二是：很难耐下性子热剩饭，作为研究生有更多的新东西要学。真不知道该干什么了。郁闷。
我整个硕士阶段有三分之二的时间在补基础，在重学本科知识，新东西学得很少。当时也想学新东西，只是不把基础补起来新东西根本就看不懂，看多少遍都看不懂。这得感谢导师对我的支持。他认为硕士阶段就是打基础，很难做什么东西。他也不管我具体在做什么，给我很大的自由。现在我学新东西速度还算快。以前对华罗庚说的“熟能生巧、勤能补拙”总有些怀疑，现在才体会到的确如此。现在有人说我很聪明，我相信这份“聪明”来自苦功夫。我是在工科院校学的数学。这对于一个以数学为事业的人来说是个不幸。我本科的课程有一半是计算机课程。数学考试也很简单，检测不出一个人的真实水平。那样的考试拿一百分和六十分我觉得在实际水平上都没什么差别，反正过一段时间大家都忘了，就好像什么都没学一样。我被这种考试制度害苦了。我是第一名，所有人眼中的好学生。可是我觉得我根本就不懂数学。有许多数学家都谈过数学学习方法，谈过学数学应掌握到什么程度。我读过，我知道，但我没那么做，我没有那么多时间那样学数学。（大家都知道现在本科生课程安排有多满，多得没时间思考。奇怪的是，只靠考前突击过关的人从来不嫌课多。大环境如此，我辈奈何？现在数学系招那么多人，每个班至多只有几个人会走数学的道路。总不能为了几个人，让大部分人考试不过关吧；总不能为了几个人，不考虑其他人的就业问题吧。奇怪啊！数学系的培养目标不是培养数学人才！）现实中的考试曾让我怀疑是否有必要深入的掌握数学，没有人（亲口）告诉我我该怎么学数学，应该学到什么深度。也许，我的幸运在于大三下学期遇到了我的硕士导师，也是我现在的导师。他是我在现实中接触过的第一位真正的数学家。从他身上，我看到了书中描述的数学家的品质。此前，我见过数学教授。见多了所谓的教授、副教授我曾经一度怀疑书中描述的数学家世界只是一个虚幻。直到见到他，我不再怀疑。如果华罗庚是我的第一个，（当然）也是永远的精神导师，那么从那时起我有了一个实实在在的数学家导师。我接触到了数学家世界，我渴望已久的世界，原来它不是一个梦幻。然而，可悲的是，我那考试得来的第一名对我进入这个世界毫无帮助。我意识到我必须重头学起。我感到自己无比的渺小，以至于不敢考研（我错过了一次进入中科院数学与系统科学研究院的机会，错过了跟随一位院士学习的机会）。另一方面，提前决定保研（我的成绩和拿过数学建模全国一等奖，美国二等奖保证了这个选择没有任何风险）为我争取到了重学数学的大量时间，因为大四的课程总是很少的，而我有不必为考研付出时间。现在回想起这段经历，我也不觉得有什么后悔。以我原来的基础，跟随无论多么伟大的数学家都不会有什么作为。
思考是一件美妙的事。我重学数学，我选择全套北大的教材，我开始 思考（我原来没思考吗？有时间思考吗？）。后来我发现并不是北大的教材就是同类教材中最好的，但是当我没有选择判断教材好坏能力的时候，那真是一个不错的选择。我至少在某种意义上接受了和北大学生同样好的数学训练（北大学生有意见吗？他们真是幸福，有老师。而我是我自己的老师）。只读数学教师的书会让你成为数学家吗？只读数学教材会让你成为数学家吗？波利亚说“应该读数学家的著作”。如果你有心的话，会发现著名数学家写的基础著作和科普著作原来有很多（这辈子你读得完吗？），读吧，看看数学家心中的数学。数学家心中的数学是一致的吗？你会发现数学家对数学的理解都有独到之处，甚至存在截然不同的观点。当有一日，你发现你开始对数学有了自己的理解，（或者说，你不能人云亦云，对伟大的数学家也是如此，你应当有自己的观点），祝贺你！你快成数学家了。你只需做出自己的发现了。
我大三下学期开始自学数学，到读研前在数分和高代上已有了一定的基础。我感觉一个人只要理解了数分和高代，他就有了理解数学的能力。“朝闻道夕死可矣！”无论何时，只要意识到基础不足，都要先把基础补起来。我个人感觉有些人博士毕业了，基础还是不足，这就意味着今后与学术无缘了。也就是说，即便是博士了，甚至博士毕业了，基础不足的话，照样需要补，而且必须补，不下功夫补永远成不了学者。 下面是几本入门书： 1、 数学分析八讲 辛钦(Хинчин,А.Я.)著 武汉大学出版社 1998 2、 微积分和数学分析引论 (美)R.柯朗, F.约翰著 科学出版社 2001 3、 数学是什么? (美)柯朗(Courant,R.),罗宾(Robbins,H.)著 科学出版社 1985.1 我用过的两本教材 1、 数学分析 周民强编著 上海科技出版社 2002 2、 高等代数 丘维声编著 高等教育出版社 1996（有新版，但我认为第一版更好）
我是在财经院校学信息与计算科学的，今年大2了，数学分析和高等代数学的一驮，看了上面的帖子，感触很多。请问有没有书下载啊？？？
现在网上电子书很多了，我已经不太关心这些信息，你自己搜索一下吧。我个人感觉数学基础课是需要钻研的，看纸质的书比电子书效果要好。有时候教材的选择并不是太重要的。回顾我的经历，我曾经以为自己本科学的教材不好，后来改用北大的教材后，感觉很好，许多原来不明白的都看明白了。这里有个潜在的原因是有些知识不是原来的教材没讲到，而是刚开始时基础不好所以看不懂，等到我返回头来学时，毕竟已经学了两三年的数学，积累了一定的基础，所以看什么都能看明白了。“书读百遍、其义自见”。思考加上用功才是数学学习的不二法门。
感到数学抽象是因为你还不熟悉它，越熟悉它，越理解它，就会感到它越来越实在。
能具体谈谈怎样“越来越实在”的“熟悉和理解”抽象么？举个你亲身经历的案例也行。谢谢！
这个其实只是一种感觉，而感觉是因人而异的。我只谈谈我的感觉。比方说，函数这个概念，是分析学的基本研究对象，重要性可想而知。那么，当提到这个概念时，你感到它实在吗？如果你只是从纯数学的角度看它，也许你永远也不会感到它实在。但如果我们追溯其产生的源头，就会发现这个概念不是人的空想之作，它是出于人类研究事物运动和现象变化的需求产生的。它是描述运动变化的合适数学工具。这样当你面对一个函数时，你实际上是在面对一个物理事实，一个自然界中的运动或变化。于是你可能就不会再感到它是抽象的，而有一种实在的感觉。这样就容易从心理上接受这个概念。在数学上，得到一个新概念后，首先会想知道它有什么性质，有哪些研究它的工具。当你对这些全很熟悉后，你一听到这个概念，脑中就会出现许多相关的内容。你不会怀疑它的存在，亦知道它存在的价值。它好像已成为你大脑中的一部分，这时，你不感到它实在吗？直觉引导人发现、理解新事物，只要不把它等同于严格性就好。
很荣幸的发现这个帖子被刊登在《博士数学通讯》第一卷第一期，这是一种荣耀。希望我的经历对更多的人学习数学有所启发。我能以自身经历鼓励别人的只有对数学的不断追求。我需要陈述一个事实：我的数学水平并不是很高。也许，等我的数学水平更上一层楼后会再写个回顾。我对数学学习又有了一些新的体会，但还不系统。多读书而少做题，遇到问题首先想到去查书而不是通过思考解决它的习惯使得我在开始做科研时遇到巨大的困难。同一科目的教材，我一般都读过几本，但题目就做得很少。在学习中遇到困难时没有养成全力克服它的习惯。结合我的教训，我认为在数学学习中下面几个方面是值得注意的：
1、精读一本教材（当然首先要选好值得精读的教材）。同类教材可参考，但不必要再花太多精力。因为任何一本教材都很难把每一个地方都讲清楚，所以参考其他教材是必要的，但不能喧宾夺主。一般同类教材的基本内容都是相同的，与其花很多精力读许多教材（多则不精），不如精读一本。 2、学习的同时一定要做题。只有从解决书本上的习题中不断获得解决问题的经验和信心才能在未来的科研工作中得心应手，否则只会“纸上谈兵终无用”。 3、遇到难题时，不要轻易放弃，要竭力攻关。科研工作中是免不了攻难题的，要早作准备。 4、读书一定要读懂。数学不同于小说，读懂字面意思就可以了。一定要理解文字公式的内涵。注意语言并不能完全表达作者想要表达的意思，即便是文字功底很好的作者也做不到。所以一方面要“咬文嚼字”，另一方面要通过自己的思考来领会作者想要表达的含义，避免文字上的误导。 5、学数学要心静。“非学无以广才，非静无以成学。”浮躁是数学学习的大敌。只有杜绝浮躁，保持心静，才能深入思考，才能获得深层次的认识。数学学习是慢功夫，水平的提高在于积累。 6、要多独立思考，尽量提出自己的想法。这是创新的源头。 关于数学学习方法，我推荐读以下几本书 [1] 华罗庚，下棋找高手，华罗庚著，北京 解放军出版社，2002.11 [2] 华罗庚科普著作选集，华罗庚著，上海 上海教育出版社，1984 1997重印 [3] 科学发现纵横谈 新编，王梓坤著，北京 北京师范大学出版社，1993.10 [4] 苏步青文选，苏步青著，杭州 浙江科学技术出版社，1991.8 其中华罗庚谈数学学习的文章实在是经典中的经典。[1]出版至今仍未售完实在是一件奇怪的事，国林风的书架上有这样的珍宝长久的被漠视，这是中国数学界的悲哀。从这一点是否可以看出“大师之后不复有大师”的原因？ 有道是“一瓶水不响，半瓶水晃荡”，我现在也就是半瓶水的水平。
[此贴子已经被作者于2005-7-14 16:07:31编辑过]
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