什么是数学(转帖)

老鱼沙丁

本文转自金观涛著《真实与虚拟-后真相时代的哲学》

数学是发明还是发现?这个问题困扰了人类2000 多年,令人奇怪的是,很少有人去追问这个难题出现的原因。其实,答案很简单。我们之所以困惑,是因为数学是具有特定结构的符号系统。100多年来,哲学深陷 在符号系统的结构真实性的迷雾中,一切的根源是哲学 家不理解什么是符号,以及主体如何自洽地给出符号。

集合论:自洽地给出符号系统

为了证明数学是什么,必须先回忆一下自然数是如何定义的。我们先给出一个集合,然后定义集合元素之间的 某种关系,它们构成了集合的某种结构。自然数就是集合 的一种特定的结构。我们在研究这一结构时,发现自然数是受控实验普遍可重复及其无限扩张的符号表达。

20世纪,数学家发现,几乎所有数学分支都可以用类似的方法来建立,其代表是法国的布尔巴基学派。这样一来,要回答何为数学,证明数学是普遍可重复受控实验无限扩张的符号 表达,必须先解决两个问题:第一,什么是集合?第二, 集合的结构和受控实验的结构是什么关系?

集合是由组成它的元素来定义的。

元素就是符号,已经给出的符号全体构成一个集合,可称为符号系统。用符号表达对象,首先要给出符号。我认为,集合论研究的正 是人如何给出符号的学问。问题的难点在于,集合论首先要解决如何才能自洽地给出一个符号系统。所谓自洽,是指给出某一集合(或元素)的同时,不能又不给出该集合(或元素)。如果某元素是属于某集合的,它不能不属于该集合。 也就是说,给出符号系统时, 必须排除悖论。此,集合论的成立,需要用一组公理来描述主体怎 样才能自洽地给出一个符号系统。这组公理至少由两个部分组成:第一,排除集合生成过程中的悖论;第二,定义 什么是空集。

所谓空集是指不含任何元素的集合。

人们很容易认为不含任何元素的集合就是不给出符号,这是错的。为什么?如果这样定义空集,立即会导致集合论的自相矛盾:给出符号和不给出符号同时成立!因此,空集不是无(不给出符号),它是不包含元素的集合。什么是不包含元素的集合?一种流行的解释是:可以将集合想象成 一个装有元素的袋子,而空集的定义是袋子为空(它不包 含任何符号),但袋子本身确实是存在的。什么是袋子?袋子比喻讲的正是主体给出符号系统这一规定性,空集只是说在满足该规定时不给出符号(元素)。正因如此,集合论必须规定如下公理:空集必须是任何非空集合的真子 集。目前流行的集合论公理大多是排除悖论所必需的原则。这些原则(公理)排除了符号和符号系统生成过程自我否定的循环。正因如此,这些原则制定时既必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾,又必须充分广阔,使康托尔集 合论中一切有价值的内容得以保存下来。

公理化方案众多,其提出和完善过程相当复杂。

至今数学界对各种公理体系评价不一。 表面上看,既然集合论公理化是为了排除悖论,只要一组公理能够排除悖论,这组公理就是可以接受的。例如罗素的类型论也是集合论的一种公理化方案, 但数学界普遍承认的集合论公理是不包括类型论的。为什么如此?我认为,集合论是讨论人如何给出确定的符号和符号系统的,这意味着在集合论中给出的符号和符号系统还没有指涉经验对象。这时,符号不具有经验对象才有的性质。 众所周知,只有性质才能定义“类”,给出具有该性质的所有元素,故不能把类的存在作为集合论的公理(即使这有助于排除悖论)。 由此可以断言,罗素的类型论对数理逻辑虽然有意义,但对于如何自洽地给出符号系统并不是最优的方案。换言之,集合论公理化的目的是指出主体如何才能自洽地给出符号系统,其涉及主体及其自由意志,意义重大,因此它足以成为数学的基础。

1908年,德国数学家恩斯特·策梅洛提出第一个公理化集合论体系,包括外延公理、初等集公理、分离公理、幂集公理、联集公理、选择公理、无穷公理。之后,德国数学家阿道夫·弗伦克尔和陶拉尔夫·斯科伦进一步完善了策梅洛提出的公理,并分别独立提出了替换公理。冯·诺依曼则提出了正则公理。

1930年,策梅洛提出了他的第二个集合公理系统,并沿用1928年冯·诺依曼的说法,将其命名为ZF 系统。相较于1908年的版本,ZF系统放弃了无穷公理,也 不再包括初等级公理,吸收了正则公理和替换公理,并提出了一个配对公理。此外,选择公理也并未明确给出—— 原因是策梅洛认为选择公理较为特殊,是一个更具普遍性 的公理,弗伦克尔也持有相似观点。 今天,我们习惯说的 ZFC系统就是ZF系统加上选择公理。

选择公理的意义

在集合论公理系统中,最有意思的是选择公理。它可以表达为我们总可以在已知集合中选出代表元素组成一个新集合。选择公理有很多等价的形式,以下是一个较简单 的描述:设C为一个由非空集合组成的集合,那么我们可以 从每一个在C中的集合中都选择一个元素yi和其所在的集合 Ci配成有序对来组成一个新的集合。 选择公理和集合论的其他公理不同,目的不是切断规定集合过程中出现自我否定的循环,而是强调:一旦给出集合,主体就可以对元素进行选择,并可以将自由选择之结果和已给出符号集建立一一对应。事实上,选择公理并非排除悖论所必需的,而是有了这个公理以后,不仅整个数学都可以建立在集合论之上,而且很多极重要的数学定理可以得到证明。选择公理碰到的最大问题是它会推出一些直觉上不可思议的结论,其原因是我们的直觉思维过于含混不清,以至无法去判断选择公理的真假。

分球怪论

1924年波兰数学家斯特凡 ·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基证明了如下定理:如果选择公 理成立,那么一个球面在被切割成有限块后,可以拼接出和原来球面一样大小的两个甚至一万个球面。人们称之为 巴拿赫-塔斯基悖论,又名“分球怪论”。

分球怪论在经验上之所以不可能,是因为每个球的面积有固定大小,即对任意一个经验上可感知的由“点集”组成之“球面”,必须规定 “点集”的测度。在集合论公理体系中,并没有规定集合必须有测度。也就是说,只要“所有集合均为可测集合”这一 限定不存在,分球怪论就可以成立;巴拿赫-塔斯基悖论便是存在不可测集合的例子。如果我们接纳选择公理,则必须接纳不可测集合。反之,若不接纳选择公理,则必须默认所有集合皆是勒贝格可测的。

分球怪论面世之后,引起轩然大波,不少学者因此主张彻底抛弃选择公理。然而,如果所有集合均是勒贝格可测的,任何事件序列都有确定概率,这肯定不正确。事实上,并不是任何一个集合都有大小,即一定是可测的,因 此选择公理是可以接受的。如前所述,在数学基础中,存在着两种集合论:一种是不包含选择公理的集合论,其简称ZF系统;另一种是包 含选择公理的集合论,其简称ZFC系统。在一段相当长的时 间内,数学家认为ZF系统不能包含选择公理,然而,哥德 尔在1938年出人意料地证明了ZF系统与选择公理彼此兼容。 正是立足于集合论的公理化运动,布尔巴基学派用元素之间的关系(即规定集合结 构)把所有已知的数学分支建立在集合论之上。

选择公理对证明各条数学重要定理具有重要价值。

选择公理不仅主张主体有规定元素并对元素进行组合的自由,而且可以用符号来表达通过组织和自我迭代不断扩张的受控实验 结构。其中,我们可以明确区别出哪些是实验条件集,哪 些是由其规定的可控制变量集,哪些又是代表两者之间存在的通道集合。选择公理是集合被给出后进一步规定集合的结构,在此意义上,它似乎已经不属于集合论(即主体如何自洽地给出符号系统),而有点像建立在集合论之上的数学门 类。

照理说,集合论是研究主体如何给出符号系统的理论,不应该涉及集合结构的原理,因为集合结构是数学研究的对象。其实,把选择公理作为集合论公理,是因为它 对数学的各个门类都有重要意义。我认为,这意味着所有 数学门类都有着共同的前提,那就是受控实验的基本结构。为什么?如前所述,选择公理表明给出受控实验的符 号表达是可能的,但没有进一步涉及受控实验的细节。既然选择公理和所有的数学门类有关,那么数学各分支实为 一个可以无限扩张之受控实验的细节研究。所谓细节,是在肯定一个可以无限扩张之受控实验的前提下,进一步用 符号表达该实验不同环节的细致结构。只有这样,我们才 可以理解为什么选择公理对重要数学定理的证明具有重要 意义。

数学定理的证明实为用公理通过逻辑推出相应的定理。

当公理不包含相应的定理时,定理便无法证明。这一点对集合论亦成立,本来集合论公理是为了让主体自洽地 给出符号系统,其目的是用该符号系统建立数学。数学家通过实践发现,选择公理的加入,使所有数学都可能建立在公理化集合论之上。这表明选择公理可以成为数学和集合论之间的桥梁。将这一结论和选择公理具有受控实验基 本结构相联系,立即得到数学是受控实验结构的符号表达。给出各个数学门类之公理只是进一步规定了可以无限扩张的受控实验各环节, 自然数只是其中之一而已。

数学:受控实验基本结构的纯符号表达

只要考察受控实验的基本结 构,以及组成它的所有环节如何符号化,我们就能把握数学研究总体上包含哪些不同领域,以及它们之间的联系。

第一个环节是主体X对可控制变量C集中的一组元素进行控制(使其成为确定的),控制包括如何自由选择变量,并对其进行自由组合。

第二个环节是可控制变量C集和可观测变量或新的可控制变量Y集的关系,它实际上是 映射。

第三个环节涉及受控实验一次又一次可重复的性质。

第四个环节是通过把Y加入C集,促成新受控实验的产生。

上述4个环节都可以符号化。

学过抽象代数的都知道,数同时具有很多种 代数结构。一旦从纯符号的代数结构来定义数,就可以理 解为什么自然数可以完全和数“数”这种经验无关。因此, 数学家经常会感受到数的美妙。受控实验的第三和第四个环节是受控实验的普遍可重 复及其无限扩张。前面我已经讲过两者的符号表达都是自 然数。在此,我要强调:受控实验第一和第二个环节的实 现,当然亦包含了它们的每一环都普遍可重复,由此,在 拓扑结构和代数结构定义的深层次中,都对应着自然数结构。

换言之,函数空间、拓扑空间都可以用点集理论来研 究,这也是数论和数学分析往往渗透到拓扑空间和代数结 构之中的原因。

在用公理定义了迄今所知的所有数学后,通过结构类型的分析,布尔巴基学派指出,数学存在三个基本的研究领域,每一个领域虽然和其他领域有关,但是它们各自不 能被其他领域取代。

第一个领域是拓扑结构的研究,第二个领域是代数结构的研究,第三个领域是序结构的研究

也就是说,从集合论对数学符号结构的定义可证明:拓扑 结构、代数结构和序结构不能互相化约。换言之,布尔巴基从数学研究本身得出的结论,和我对受控实验环节的分析结果惊人的一致!这更进一步证明了数学真实乃是普遍可重复受控实验不断扩张的符号表达。

数学真实起源于自然数和欧几里得的《几何原本》。 数论和欧几里得几何都有极强的经验色彩,拓扑学比几何学抽象,但仍有经验的影子。抽象代数和经验差不多完全无关,故在数学中被认为是最难掌握的内容。如果从集合论出发,最容易掌握的 反而是代数结构。例如,皮亚诺-戴德金结构一开始就是从 代数结构出发来定义自然数的。如果学过抽象代数,就能发现自然数集合是半群,而实数集合既是群,又是环。也就是说,从符号系统的代数 结构来讲,看似简单的自然数(和实数)极为复杂,因为 它把代数结构和序结构联系起来。所有数学均可归为集合的结构,数学真实是非经验的,因此,布尔巴基学派认 为,数学教学的顺序应该改变,其不应从自然数和几何开 始,而应从集合论和抽象代数开始。

今日抽象代数之所以那么难懂,是因为从小形成的算数和几何学经验束缚了我们的思想。

换言之,以往数学概念和经验联系太紧,妨碍人类掌握数学的真谛。受到这一理念的影响,欧美教育界开始重编中小学数学教科书,一开始就从最抽象的层面讲数学,但最后并未获得成功。布尔巴基学派以为只要排除经验的干扰,人们就能更好地掌握数学真实。然而,他们的想法在实践上却以失败告终。为什么布尔巴基学派数学教育没有成功?数学真实作为普遍可重复之受控实验不断扩张的符号表达,当符号没有指涉对象时,它当然是非经验的,可以由主体根据某些规则(立足于普遍可重复的受控实验结构)自由创造,但经验上可感知的受控实验的基本结构毕竟是其原型。这样一来,从经验出发学习数学是有道理的,特别是几何学和自然数,它直接和受控实验的常识相联系。数“数”是人类最早在经验上熟悉的受控过程,几何学从最基本的受控实 验(空间位置测量)中抽出,从其出发教数学应该是不可避免的。当然,这会带来一个严重后果,那就是妨碍人们认识数学真实是符号系统本身的真实性。

一个符号系统可以不指涉对象,其结构本身就保证了它的真实性,这对20世纪的哲学家来说是不可思议的。BEAUTIFUL AMAZING!


1.3015 13 1 关注作者 收藏 2023-11-29   阅读量: 1651

评论(1)

sunnyzhxg
2月前
谢谢分享!
0.0000 0 0 回复