期权定价理论与方法综述 [推广有奖]

　期权定价理论是现代金融学基础之一。在对金融衍生品研究中，期权定价的模型与方法是最重要、应用最广泛、难度最大的一种。1973年，被誉为“华尔街第二次革命” B-S-M期权定价模型正式提出，随之成为现代期权定价研究的基石。这与现代期权在1973年的上市一起，标志着金融衍生品发展的关键转折。现代期权定价的理论和方法在国外经过三十多年的发展已经日趋成熟。随着沪深300股指期权的积极推进，国内金融市场或将迎来期权这一全新金融工具。因此，国内期权定价的研究会更具发展前景和现实意义。

　　 期权最重要的用途之一是管理风险，要对风险进行有效的管理，就必须对期权进行正确的估价。期权定价理论和方法的产生和完善对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用。期权定价研究得出的基本原理和方法被广泛应用于宏观、微观的经济和管理问题的分析和决策，其中在财务方面的应用最为集中，以及在投资决策等方面都有广泛的应用。

　　本文主要是对期权定价的综述，内容包括两个方面：

　　1 期权定价理论模型

　　1.1 B-S-M模型之前的期权定价理论

　　1.2 B-S-M模型

　　1.3 B-S-M模型之后的期权定价理论

　　2 期权定价数值方法

　　2.1 树形方法

　　2.2 蒙特卡洛模拟

　　2.3 有限差分方法

　　2.4 新兴方法：神经网络

　　2.5 非完全市场下的期权定价方法

　　1. 期权定价理论模型的发展

　　1.1. B-S-M模型之前的期权定价理论

　　历史上的期权交易可以追溯到古希腊时期，并于17世纪荷兰“郁金香投机泡沫”和18世纪美国农产品交易中相继出现。期权定价的理论模型的历史却比较短。期权定价理论的研究始于1900年，由法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在博士论文《投机理论》中提出。他首次引入了对布朗运动的数学描述，并认为股票价格变化过程就是一个无漂移的标准算术布朗运动。这一发现沉寂了五十年后才被金融界所接受，被称为“随机游走”或“酒鬼乱步”。巴舍利耶在此基础上，通过高斯概率密度函数将布朗运动和热传导方程联系起来，得出到期日看涨期权的期望值公式：

　　其中S是股票价格，K是期权执行价格， 是股票价格遵循的布朗运动的方差，T是期权期限， 与 是标准正态分布的分布函数和密度函数。

　　这一模型的主要缺陷是绝对布朗运动允许股票价格为负，并可推导出股票价格变化期望为零的结论。这与现实不符，也未考虑资金的时间价值，在提出后几十年时间里并没有得到重视。但其蕴含的随机游走思想与引入布朗运动描述股票价格变动，都具有开创性意义。巴舍利耶的期权定价理论标志着金融数学的诞生。

　　上世纪四十年代，概率论和随机过程的发展为期权定价理论进一步奠定了数学基础，特别是日本数学家伊藤清建立了Ito随机微分方程和Ito过程。这成为金融领域中的基本数学工具，在期权定价领域非常重要。在巴舍利耶之后的半个多世纪，期权定价理论的发展集中在特定的计量模型上。卡索夫（S.Kassouf）是其中最杰出的一位，他建立了以下公式估计看涨期权价格V：

　　( 是待估参数)

　　卡索夫利用到期时间、分红及其它变量估计参数

　　在学术界对巴舍利耶的再发现拖延了半个多世纪后，曾在二战中协助冯•诺依曼发明第一台计算机的美国统计学家萨维奇(L.Savage)于1955年向包括萨缪尔森(P.Samuelson)在内的经济学家寄出明信片，推荐巴舍利耶的博士论文中的研究成果。在萨缪尔森极力推荐和传播下，巴舍利耶的期权定价理论吸引了众多顶尖人才的研究，并最终导致了B-S-M模型这一承前启后集大成者的诞生。

　　 1961年，斯普里克尔(C.Sprenkle)假定股票价格服从具有固定均值和方差的对数正态分布，这样就消除了巴舍利耶公式中股票价格为负的可能性。同时允许正向漂移，考虑了利率和风险厌恶。但该模型仍然忽略了资金的时间价值。斯普里克尔的看涨期权定价公式为：

　　 其中 是股票的预期收益率， 则是风险厌恶的度量。

　　 1964年，博内斯(J.Boness)提出了类似的模型，同时考虑了货币的时间价值。他考虑了风险保险的重要性，认为投资者“不在乎风险”。他的推导仍需建立在风险中性的假设基础上，否则他将推导出B-S-M模型。博内斯的期权定价模型为：

　　 1965年，萨缪尔森提出一个欧式看张期权定价模型。他考虑到因风险特性的差异，期权和股票的预期收益率并不一致，认为期权应该有一个更高的平均收益率 。他提出的定价模型为：

　　 对比易得，博内斯模型是萨缪尔森模型的特例(当 = )

　　1969年，萨缪尔森和莫顿(R.Merton)使用一种资产组合选择的简单均衡模型检验期权定价理论，允许内生的股票和期权的预期收益。他们证明了期权问题可以用函数形式的“公共概率”项来表示，这种函数形式与用真实概率所表述的问题一样。采用这种方式，调整过的股票预期收益率和期权预期收益率是一样的。这一方法实际上体现了现在期权定价里的风险中性思想。

　　 1973年B-S-M模型之前的期权定价理论都缺乏实用价值，被称为“不完全模式”。巴舍利耶模型的主要缺点是绝对布朗运动假设带来股票为负的可能性，这与公司责任的有限性矛盾。卡索夫的计量模型缺乏微观基础。斯普里克尔和萨缪尔森的公式里都有两个主观变量，难以实证。博内斯与B-S-M模型的一步之遥在于其对风险中性是假定的。但期权定价理论的发展是一脉相承的，他们的工作为随后的B-S-M模型奠定了基础。

　　1.2. B-S-M模型

　　1973年，美国芝加哥大学教授布莱克(F.Black)和舒尔斯(M.Scholes)发表《期权与公司负债定价》一文，提出了B-S-M模型。一个月后，芝加哥期权交易所正式挂牌第一个标准化期权合约。德州仪器随即推出固化了B-S-M公式的期权计算器，并迅速得以推广。同年麻省理工学院的莫顿(R.C. Merton)独立的提出一个更为一般化的模型，并提出了一系列的改进和完善。B-S-M模型就以此迅速成为一场里程碑式的革命，影响深远。不仅为创立者赢得了1997年诺贝尔经济学奖的殊荣，也在期权定价实践中占据着主导地位，至今无可取代。

　　B-S-M模型给出了欧式股票期权的定价公式，但其模型建立在严格的假设前提之上，包含以下六点：

　　1. 股票价格的随机过程-遵从几何布朗运动： ；

　　是股票价格， 为股票的期望收益率， 则是股价波动率， 是布朗运动(又称维纳过程)。由该方程可知着股价在短时期内的变动来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化 ，被称为漂移率，可以理解为总体的变化趋势。二是随机波动项，即 ，是随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

　　2. 股票在期权有效期内无红利及其它现金收益；

　　联系第一点，可知股价的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

　　3. 市场是无摩擦的：不存在税收和交易费用；

　　联系第二点，可知投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。

　　4. 允许卖空股票，且股票是完全可分的；

　　5. 无风险利率为常数，投资者能以此利率贷入资金；

　　6. 不存在无风险套利机会。

　　B-S-M模型给期权定价的基本思想是无套利复制。股票价格与期权价格都受同一种不确定性的影响，两者遵循相同的几何布朗运动，只是对随机因素变化的反应程度不同。通过构造一个包含恰当数量标的股票和期权的投资组合，可以消除不确定性，构成一个无风险的资产组合。在一个无套利市场中，该资产组合的收益必定等于无风险利率。由此可以得到期权价格的B-S-M微分方程：

                          （理论投资）