重新审视固定效应VS随机效应：一件很有意思的事

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之前发过一个帖子关于模型中包含不随时间变动的变量时，该怎么办？我们的大神伍德里奇大哥强调，此时可以使用Mundlak修正的随机效应模型，模型中必须加入时变变量以及年份虚拟变量的组内均值，他也强调加入这些组内均值的作用。但在用这种方法时，必须是完整观测值，何为完整？也就是说对于每个观测值，所有变量都不能有缺失值，这样的话，随机效应得到的时变变量的估计系数与固定效应得到的系数是完全一致的，这意味着什么呢？意味着，当加入时变变量组内值后，如果所有观测值都是完整的，那么随机效应得到的估计值也是一致的。下面看代码：

1. webuse nlswork
   
2. xtset idcode
   
3. xtreg ln_w  age ttl_exp tenure 2.race grade, fe    //固定效应
   
4. 
   
5. note: 2.race omitted because of collinearity
   
6. note: grade omitted because of collinearity
   
7. 
   
8. Fixed-effects (within) regression               Number of obs     =     28,099
   
9. Group variable: idcode                          Number of groups  =      4,697
   
10. 
    
11. R-sq:                                           Obs per group:
    
12.      within  = 0.1443                                         min =          1
    
13.      between = 0.2745                                         avg =        6.0
    
14.      overall = 0.1924                                         max =         15
    
15. 
    
16.                                                 F(3,4696)         =     544.06
    
17. corr(u_i, Xb)  = 0.1651                         Prob > F          =     0.0000
    
18. 
    
19.                              (Std. Err. adjusted for 4,697 clusters in idcode)
    
20. ------------------------------------------------------------------------------
    
21.              |               Robust
    
22.      ln_wage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
    
23. -------------+----------------------------------------------------------------
    
24.          age |     -0.003      0.001    -2.35   0.019       -0.006      -0.001
    
25.      ttl_exp |      0.029      0.002    12.72   0.000        0.025       0.034
    
26.       tenure |      0.012      0.001     7.93   0.000        0.009       0.015
    
27.              |
    
28.         race |
    
29.       black  |      0.000  (omitted)
    
30.        grade |      0.000  (omitted)
    
31.        _cons |      1.548      0.027    56.78   0.000        1.494       1.601
    
32. -------------+----------------------------------------------------------------
    
33.      sigma_u |   .3751722
    
34.      sigma_e |  .29556813
    
35.          rho |  .61703248   (fraction of variance due to u_i)
    
36. ------------------------------------------------------------------------------
    
37. 
    
38. 
    
39. gen s = (ln_wage != .) & (age != .) & (ttl_exp != .) & (tenure != .) & (race != .) & (grade != .)   //筛选完整观测值
    
40. egen agebar = mean(age) if s, by(idcode)
    
41. egen ttl_expbar = mean(ttl_exp) if s, by(idcode)
    
42. egen tenurebar = mean(tenure) if s, by(idcode)
    
43. egen racebar = mean(race) if s, by(idcode)
    
44. egen gradebar = mean(grade) if s, by(idcode)
    
45. 
    
46. xtreg ln_wage  age ttl_exp tenure 2.race grade agebar ttl_expbar tenurebar racebar gradebar, re r   //Mundlaks随机效应
    
47. 
    
48. note: gradebar omitted because of collinearity
    
49. 
    
50. Random-effects GLS regression                   Number of obs     =     28,099
    
51. Group variable: idcode                          Number of groups  =      4,697
    
52. 
    
53. R-sq:                                           Obs per group:
    
54.      within  = 0.1443                                         min =          1
    
55.      between = 0.4338                                         avg =        6.0
    
56.      overall = 0.3251                                         max =         15
    
57. 
    
58.                                                 Wald chi2(9)      =    4531.56
    
59. corr(u_i, X)   = 0 (assumed)                    Prob > chi2       =     0.0000
    
60. 
    
61.                              (Std. Err. adjusted for 4,697 clusters in idcode)
    
62. ------------------------------------------------------------------------------
    
63.              |               Robust
    
64.      ln_wage |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
    
65. -------------+----------------------------------------------------------------
    
66.          age |     -0.003      0.001    -2.35   0.019       -0.006      -0.001
    
67.      ttl_exp |      0.029      0.002    12.71   0.000        0.025       0.034
    
68.       tenure |      0.012      0.001     7.93   0.000        0.009       0.015
    
69.              |
    
70.         race |
    
71.       black  |     -0.114      0.025    -4.50   0.000       -0.163      -0.064
    
72.        grade |      0.070      0.002    31.29   0.000        0.066       0.075
    
73.       agebar |     -0.003      0.002    -1.52   0.128       -0.006       0.001
    
74.   ttl_expbar |     -0.001      0.003    -0.25   0.800       -0.007       0.005
    
75.    tenurebar |      0.016      0.003     6.07   0.000        0.011       0.022
    
76.      racebar |      0.053      0.024     2.22   0.027        0.006       0.099
    
77.     gradebar |      0.000  (omitted)
    
78.        _cons |      0.654      0.044    14.84   0.000        0.568       0.740
    
79. -------------+----------------------------------------------------------------
    
80.      sigma_u |  .27513121
    
81.      sigma_e |  .29556813
    
82.          rho |  .46423555   (fraction of variance due to u_i)
    
83. ------------------------------------------------------------------------------

复制代码

       结语：我们发现一件很有意思的事，固定效应得到的时变变量系数以及标准误与随机效应得到的系数及标准误完全一致，这意味着我们的随机效应也得到了一致的估计值，而且还出色地估计了不随时间变动的race的估计系数。事实上，这也是伍德里奇大哥比较推荐的关于固定效应与随机效应模型选择的一种方法，因为他始终认为xtoverid就是一个黑匣子，他不是很喜欢用xtoverid。       再来一句话：如果你要用随机效应，请务必在模型中加入所有时变变量（包括时间虚拟变量）的组内平均值，这一点很重要！！！
关于这个问题，欢迎下方留言讨论！

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关键词：随机效应 固定效应 有意思 Collinearity fixed-effect