位似函数一定是齐次函数吗

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关键词：位似函数 齐次函数 求帮忙

并不，位似函数是由齐次函数单调变换而来的，比如齐次函数f(x,y)=xy经过“加1”的变换后变为位似函数g(x,y)=xy+1，并不改变原来对应的序关系，但是新函数并不是齐次函数了

“应该不要求一定是一阶齐次的吧。位似函数只是一个g*f 的复合函数，其中g为增函数，f 为齐次函数（并没有规定阶数）

位似函数保持了原函数自变量到函数值对应的序关系。即对于函数[公式],如果一组自变量对应的函数值大于另一组的,那么经过单调映射后前者的函数值仍大于后者。

但是由于单调映射有很多可能的形式,齐次函数的很多性质是不能保持的。要注意的是,位似函数有个很好的性质,即函数各个自变量之间的隐含替代关系只取决于自变量之间的比例,而不取决于其绝对值。

简言之,位似函数是指齐次函数经过任意的单调映射所得到的函数。做题时只要证明函数不是齐次函数就可以了。

齐次函数经过任意的单调映射得到的函数叫做位似函数，变换后得到的位似函数保留了原函数自变量到函数值对应的序关系，但原齐次函数的其他性质并未保留下来，即并非一定为齐次函数（有特例）。

结论：位似函数(homothetic function)不一定是齐次函数(homogeneous function)。位似函数说的是如果(x1,x2)~(y1,y2) (which means the two consumption bundles are equally attractive)，则有(tx1,tx2)~(ty1,ty2)，如果(x1,x2)代入效用函数里面得到的效用值和(y1,y2) 代入得到的效用值相同，那么检验位似函数的方便做法就是，看看(tx1,tx2)和(ty1,ty2)的效用值是不是一样的。位似函数的重要特性就是无差异曲线的斜率(Marginal rate of substitution, MRS)只和商品之间的比率有关，比如两商品的无差异曲线斜率和x/y有关，其实通过Utility maximization求解得到的结果可以发现，像(1) Cobb-Douglas utility; (2) Perfect substitute; (3) Perfect complement都是位似偏好。而位似函数可以看成齐次函数单调变换而来的，比如齐次函数f(x,y)=xy经过“加1”的变换后变为位似函数g(x,y)=xy+1，但是并不是齐次函数了。