数学分析习题练习七

东北大学2022数学分析


证明：
                由已知，用泰勒展开将函数在$x=\frac{a+b}{2}$点展开
                             $\begin{align*}f(x)&=f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})+\frac{1}{2!}f''(\xi)(x-\frac{a+b}{2})^2,(\xi\in(a,\frac{a+b}{2}).f''(x)\leq 0)\\\\&\leq f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2}).\end{align*}$

                 再求积分
                             $\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)dx&\leq \int_{a}^{b}f(\frac{a+b}{2})dx+f'(\frac{a+b}{2})\int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx\\\\&=(b-a)f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(\frac{1}{2}x^2-\frac{a+b}{2}x)|_a^b\\\\&=(b-a)f(\frac{a+b}{2}).\end{align*}$

     注：此题还可用凹函数性质（$f''(x)<=0$）来解。

东北大学2022数学分析试题

楼上第十题解：
                利用高斯公式
                          $\begin{align*}I&=\iint_S=3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV+6\iiint_\Omega dV\\\\&=3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV+8\pi\\\\&=24\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{0}^{1}r^4dr+8\pi\\\\&=\frac{12}{5}\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta d\theta +8\pi\\\\&=\frac{52}{5}\pi.\end{align*}$

求由曲面$(x^2+y^2+x^2)^3=3xyz$所围成的体积。
解：
             曲面图形如下
                                       


                 利用球面坐标计算并利用对称性：
                            $x=\rho \sin\varphi \cos\theta ,y=\rho \sin\varphi \sin\theta ,z=\rho \cos\varphi ,$


                               $I=4\iiint_\Omega dV=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\varphi d\varphi \int_{0}^{\sqrt[3]{3\sin\varphi \cos\varphi \sin\theta \cos\theta }}\rho ^2d\rho =\frac{1}{2}.$

华中科技大学2022年数学分析真题


解：
                      令：
                                   $\displaystyle P=\frac{x-5}{r^3},Q=\frac{y}{r^3},R=\frac{z}{r^3},r=\sqrt{(x-5)^2+y^2+z^2}.$

                      由被积函数可知，在点$\displaystyle M_0(5,0,0)$处，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial R}{\partial x}$不连续，为奇点。因此，要挖去$M_0$，再用高斯公式。
                     取
                                     $\displaystyle \varepsilon > 0，V_1:(x-5)^2+y^2+z^2=\varepsilon ^2.V_1\in\Omega .$
                       方向向外。这样

                                      $\displaystyle I=\iint_{S -S_1}+\iint_{S_1},$

                                       $\begin{align*}\iint_{S -S_1}&=\iiint_{\Omega -V_1}\left ( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right ) dV\\\\&=\iiint_{\Omega -V_1}\left ( \frac{r^2-3(x-5)^2}{r^5}+\frac{r^2-3y^2}{r^5}+\frac{r^2-3z^2}{r^5}\right ) dV\\\\&=0.\end{align*}$

                                       $\displaystyle \iint_{S_1}=\frac{1}{\varepsilon ^3}\iint_{S_1}(x-5)dydz+ydzdx+zdxdy=\frac{3}{\varepsilon ^3}\iiint_{V_1}dV=4\pi.$

                         所以
                                          $\displaystyle I=4\pi.$

中国海洋大学2021年数学分析真题


解
                   利用偶函数的对称性，有
                                $\displaystyle I=\iint_\Sigma |xy|dS=4\iint_{\Sigma_1} xydS=$

中国海洋大学2021年数学分析真题


解：
                   显然积分的第一部分积分函数为偶函数，因此由每二类曲面积分性质知，其在对称区域内积分为零。

                   设
                               $\displaystyle \Sigma_1:x=\sqrt{1-y^2-z^2}.$

                    于是利用曲面积分奇函数积分的对称性质，有

                                $\begin{align*}I&=\iint_{\Sigma }=2\iint_{\Sigma_1}\frac{dydz}{x\cos^2x}\\\\&=2\iint_{D_{yz}}\frac{dydz}{\sqrt{1-y^2-z^2}\cos^2\sqrt{1-y^2-z^2}}\\\\&=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\frac{rdr}{\sqrt{1-r^2}\cos^2\sqrt{1-r^2}}\\\\&=4\pi\int_{0}^{1}\frac{-d\sqrt{1-r^2}}{\cos^2\sqrt{1-r^2}}\\\\&=-4\pi\arctan\sqrt{1-r^2}|_0^1\\\\&=4\pi\arctan1.\end{align*}$

2023年湖南大学数学分析考研题


证明：
               用反证法。

               假设$\displaystyle \exists M> 0,s.t.|\frac{f'(x)}{f(x)}|\geq M.$

                      $\displaystyle \because f(x)> 0,\therefore -Mf(x)\leq f'(x)\leq  Mf(x).$

                 令
                             $\displaystyle F(x)=e^{-Mx}f(x),$

                  则
                               $\displaystyle F(a)=e^{-Ma}f(a)=0,$

                       而
                                 $\displaystyle F'(x)=e^{-Mx}(f'(x)-Mf(x))\leq 0.$

                                  $\displaystyle \therefore F(x)=e^{-Mx}f(x)\leq F(a)=e^{-Ma}f(a)=0,\Rightarrow f(x)\leq 0.$

                        与条件矛盾。故原命题必成立。

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2023中国海洋大学三道线面积分基本计算题


解
                    令
                                 $\displaystyle I=\iint_S\sqrt{1+x^2+y^2}dS=\iint_S\sqrt{1+u^2}\sqrt{ED-F}dudv,$

                         其中
                                      $\displaystyle E=x_u^2+y_u^2+z_u^2=\cos ^2v+\sin ^2v+0=1,$

                                       $\displaystyle D=x_v^2+y_v^2+z_v^2=u^2+1,$

                                       $\displaystyle F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=0.$

                                  $\displaystyle \therefore I=\iint_S\sqrt{1+u^2}\sqrt{ED-F}dudv=\int_{0}^{\pi}dv\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\cdot \sqrt{1+u^2}du=\frac{4}{3}\pi.$